Скалярное произведение 4-вектора координат и вектора Паули

[Gickle]

Доброго времени, запутался в очередной раз по очень простому вопросу. Рассмотрим следующую матрицу:

$\hat{x} = x_{\mu} \sigma^{\mu} = \begin{pmatrix} x^0 - x^3 & -x^1 + i x^2 \\ -x^1 - i x^2 & x^0 + x^3 \end{pmatrix} $,

где $\sigma_{mu}$ - матрицы Паули.

Нужно показать, что для произвольной матрицы $N \in SL(2,\mathbb{C}) $

$\hat{x}' = N \hat{x} N^{\dagger}$

тоже представимо в таком виде, причём 4-вектор $x'$ связан с $x$ линейным преобразованием:

$x' = \Lambda x$

Вообще говоря, я понимаю, что за всем этим стоит впоследствии, но вот как это показать аккуратно, что-то не соображу. Я пытался идти "от печки": то есть тупо записал

$N = \begin{pmatrix} n_{11} & n_{12} \\ n_{21} & n_{22} \end{pmatrix} ,$

потом перемножил $N \cap{x}$, получил конструкцию типа:

$\begin{pmatrix} n_{11} x^0 - n_{12} x^1 - i n_{12} x^2 - n_{11} x^3 & n_{12} x^0 - n_{11} x^1 + i n_{11} x^2 + n_{12} x^3 \\ n_{21} x^0 - n_{22} x^1 - i n_{12} x^2 - n_{21} x^3 & n_{22} x^0 - n_{21} x^1 + i n_{21} x^2 + n_{22} x^3 \end{pmatrix} = x^{\mu} T_{\mu} $,

где $T_{\mu}$ - 4 матрицы, коэффициенты которых выражены через коэффициенты $N$. Теперь имеем уже:

$\hat{x}' = x^{\mu} T_{\mu} N^{\dagger}$

Можно поочередно перемножить $T_{\mu} N^{\dagger}$, подставить, объявить, что при этом $\hat{x}'$ должна иметь нужный вид, после чего получить систему из четырёх уравнений. Если показать, что она разрешима относительно $(x')^0, \cdots, (x')^3$, то вот и ответ получается, по сути (если к тому же ещё и решить её, то будет видно, как $\Lambda$ связана с $N$). Но, как по мне, это какой-то ужасно глупый метод. Как сделать это всё элегантнее?

P.S. К слову, правильно ли я понимаю, что конкретно именно в этом задании факт того, что $N \in SL(2,\mathbb{C}) $, не столь важен. В том смысле, что результат может быть обощён и на более широкий класс матриц (тогда уже скалярное произведение $x_{\mu} x^{\mu} $ не будет сохраняться при преобразовании, но тут это и не требуется пока).

P.P.S. Ну и заодно уж спрошу ещё по второму заданию. Там потом просится ещё показать, что соответствующее таким $N$ преобразование Лоренца (та самая $ \Lambda$) может быть записано в виде

$\Lambda^{\mu}_{\,\,\,\nu} = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\bar{\sigma}^{\mu} N \sigma_{\nu} N^{\dagger} \right) $

Если действовать, как выше, то, наверное, можно такой результат получить, но опять же можно как-то попроще, мне кажется. Типа воспользоваться тем, что внутри шпура можно матрицы местами переставлять, потом внимательно посмотреть на $\bar{\sigma}^{\mu} \sigma^{\nu}$ и что-то важное осознать. Но для этого надо понять, что есть $\bar{\sigma}^{\mu} \sigma^{\nu}$, с чем у меня тоже затруднения, к моему стыду. Соотношение $\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \hat{1}$ для $i, j, k = 1, 2, 3$ я знаю, но нормально приделать сюда ещё $\sigma_0 = \hat{1}$ не могу что-то.

Заранее спасибо за помощь.

[Metford]

Gickle в сообщении #1176741 писал(а):

Как сделать это всё элегантнее?

Насколько мне помнится, элегантно сделано у М.А. Наймарка в книге "Линейные представления группы Лоренца" - буквально в самом начале книги.

[Georgii]

А можно вопрос от несведущего - эти матрицы $N \in SL(2,\mathbb{C}) $ нужны для того, чтобы переводить 4-х векторы из одной инерциальной системы в другую с помощью преобразований Лоренца? При этом мы учитываем спин частицы.

[Metford]

Удаётся установить соответствие между матрицами $2\times 2$ и собственными преобразованиями Лоренца. Там, правда, нет взаимной однозначности. Используется это при построении неприводимых представлений группы Лоренца. В конце концов это нужно для описания частиц со спином $1/2$, но можно рассматривать и как математическую вещь.
Ну очень советую в названную мной выше книгу заглянуть.

[Gickle]

Metford
А можете пальцем ткнуть, куда смотреть, а то я что-то не нашёл ничего? Самое близкое из начала - "описание вращений при помощи унитарных матриц". Но речь все-таки и не об унитарных матрицах, и не только о вращениях. К тому же там какой-то совсем "геометрический" метод. Я на издание 1958 года, к слову, ориентируюсь.

[Metford]

Gickle, я по памяти говорил - ошибся, извините. Не в начале книги это место. У меня издание 2016 года, но не думаю, что будут сильные отличия. Глава третья, параграф 9 - Конечномерные представления собственной группы Лоренца.