шарик в чашке

[zoo]

Для модератора: пожалуйста не надо перемещать эту задачу в раздел "Физика", она не по физике.

Имеется чашка, форма которой задана гладкой функцией $z=f(x,y)\ge 0$ с выпуклым вниз графиком. $(x,y,z)$ -- декартова система координат. Сила тяжести направлена вдоль оси $z$ и противоположна ей. Глубина чашки $h$.
На край чашки ставят шарик (материальную точку) массы $m$ и отпускают без начальной скорости, так чтобы этот шарик соскальзнул внутрь чашки, сил трения нет. Доказать, что на краю чашки имеется точка, при движении из которой, шарик снова поднимится на высоту $h$, т.е. достигнет края чашки. Никаких симметрий чашки не предполагается.

Дополнение к условию по возникшим вопросам:
1) чашка неподвижна
2) линии уровня $f(x,y)=h$ представляют собой замкнутые гладкие кривые в плоскости $(x,y)$ без самопересечений, вложенные друг в друга

[нг]

zoo писал(а):

Для модератора: пожалуйста не надо перемещать эту задачу в раздел "Физика", она не по физике.

Внял

В первый раз вижу подобный комментарий по-существу. Более или менее.

[Коровьев]

Не пойму, как говорят, в чём фишка.
Если по физике, то и ёжик в курсе, что шарик поднимется на ту же высоту. /$mgh$-таки не обманешь/
Если по математике, то что требуется - доказать, что на концах интервала на высоте $h$ функция принимает равные значения, то и это ему ясно.
Будьте добры, разъясните подробнее.

[Хет Зиф]

Коровьев
Ха! нет, тут все сложнее. Никто не застрахован, что шарик будет крутиться при падении (не вокруг своей оси конечно )!! Говоря с точки зрения физики часть начальной потенциальной энергии шарика может уйти на вращательную, вокруг некоторой оси. Если решать в лоб то просто можно записать
дифур движения типа:
$x''= \frac{f_{x}}{1+f^2_{x}+f^2_{y}}$
$y''= \frac{f_{y}}{1+f^2_{x}+f^2_{y}}$
Ну и нечто похожее на движение по $z$. А дальше по идее нужно доказывать что
при выборе некоторого начального условия типа $h=f(x_{0},y_{0})$, решение пройдет через какую то точку $h=f(x_{2},y_{2})$. Ну дальше я пока пас

[Brukvalub]

Беда здесь в том, что возможны такие поверхности, для которых, начав движение из некоторых точек их края, шарик может бесконечно долго продолжать движение по замкнутой кривой, на край уже не выходящей.....Возможны и другие случаи вырождения.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Беда здесь в том, что возможны такие поверхности, для которых, начав движение из некоторых точек их края, шарик может бесконечно долго продолжать движение по замкнутой кривой, на край уже не выходящей...

А они будут выпуклыми вниз, эти поверхности?

Что-то мне не удаётся ни одного примера придумать, в котором шарик, выходя из любой точке, не поднимался бы обратно на высоту $h$. Впрочем, в непрерывной математике не силён

[Хет Зиф]

Я думаю что нить типа $z= \alpha x^2+\beta y^2$ при $\alpha>>\beta $. должно подойти, но не уверен.

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

...при $\alpha>>\beta $ должно подойти...

В смысле $\alpha$ много больше, чем $\beta$? Или тут что-то другое имеется в виду?

Мне почему-то кажется, что если какой-то эффект есть, то он должен либо проявляться при любых $\alpha \neq \beta$, либо вообще не проявляться.

[Brukvalub]

Мои рассуждения тоже чистой воды партизанщина, я только хотел обратить внимание на многообразие возможностей. Но, думаю, что как раз пример

Хет Зиф писал(а):

Я думаю что нить типа $z= \alpha x^2+\beta y^2$ при $\alpha>>\beta $. должно подойти, но не уверен.

неудачен, поскольку он обладает круговой симметрией и должен тогда являться контрпримером к исходному утверждению, что вряд ли возможно.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

...неудачен, поскольку он обладает круговой симметрией...

Круговой? Разве?

[Хет Зиф]

Brukvalub
А что имеется ввиду под круговой?? Это как бы сильно вытянутый элипс. Если сбросить шарик из почти наиболее удаленной точки, то можно легко заметить что он как бы будет "закручиваться". Правда я не уверен что он потом обратно не "раскрутится " Так или иначе я дамаю, что на этом решение не построишь. Тут наверно нужно вообще не в даваться в физику движения, а работать просто с системой диф. уравнений

[Brukvalub]

Согласен, я не совсем точно выразился. Должен был сказать, что каждое его сечение, проходящее через вертикальную ось координат, обладает осевой симметрией, но, возможно, и это не сильно помогает...

[Профессор Снэйп]

Не знаю. Я боюсь, что сейчас глупость напишу, но всё равно хочется свои 5 копеек вставить.

Вот есть край чаши --- замкнутая кривая, диффеоморфная окружности и огибающая ось $z$. Предположим, что шарик, отпущенный из любой точки края, не достигает высоты $h$. Тогда точку края будем называть положительной, если шарик, отпущенный из неё, движется в точке максимального подъёма по часовой стрелке и отрицательной, если против.

Ясно, что все точки края одного знака. Может, отсюда надо как-то плясать? И получать противоречие с выпуклостью

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Ясно, что все точки края одного знака.

Мне это неясно

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Ясно, что все точки края одного знака.

Мне это неясно

Ну это из тех соображений, что вектор скорости в точке наивысшего подъема

1) Не имеет вертикальной составляющей;
2) Непрерывно зависит от точки старта.

Если есть точки края с разными знаками, то из непрерывности получается, что в одной из точек наивысшего подъёма скорость равна нулю. Но тогда и высота этой точки должна быть равна $h$, иначе имеем противоречие с законом сохранения энергии.