"Высокие" размышления о игре в колечко.

[VolroRutra]

У нас в школе была следующая игра. Весь класс становился в круг, и каждый ребенок брал за раку не своего соседа. То есть не человека стоящего справа или слева от вас, вроде диагоналей в многоугольнике. После того как все дружно и крепко взялись за руки, нужно, путем поистине "великолепных" гимнастических упражнений ( а рядом ведь дамы ), образовать первоначальный круг. Так вот, из научно-популярной литературы я слышал про такие вещи как графы и топология, и меня заинтересовала: если тут взаимосвязь ? Всегда ли можно образовать первоначальный круг (если кому-то интересно, то у нас это всегда получалось)? И где про это можно прочитать поподробнее ?

От меня, наверное, потребуют самостоятельного решения, но все мои попытки рисовать стрелочки и перемещать их на бумаге ни к чему не привели. Вообщем, надеюсь мне объяснят: сморозил ли я глупость или же тут есть что-то интересное, и толкнут в нужном направлении.

[Brukvalub]

VolroRutra в сообщении #1174053 писал(а):

Всегда ли можно образовать первоначальный круг

Пусть, например, сначала было трое детей, и они взялись за руки, образовав круг. Затем с разных сторон к ним подошло еще много детей, которые вцепились друг в друга, не трогая первых трех. Новые дети могут встать в круг к первым трем и вцепиться друг в друга так, чтобы выполнились условия задачи.
Ума не приложу, как тогда

VolroRutra в сообщении #1174053 писал(а):

путем поистине "великолепных" гимнастических упражнений ( а рядом ведь дамы ), образовать первоначальный круг.

[VolroRutra]

Brukvalub в сообщении #1174055 писал(а):

Пусть, например, сначала было трое детей, и они взялись за руки, образовав круг. Затем с разных сторон к ним подошло еще много детей, которые вцепились друг в друга, не трогая первых трех. Новые дети могут встать в круг к первым трем и вцепиться друг в друга так, чтобы выполнились условия задачи.

Извиняюсь, я, наверное, невнятно объяснил. Трое детей ни как не могут быть. Должно $n\geqslant5$, ведь только тогда можно двумя руками взять за руку не своего соседа. При $n=5$, например, получится звездочка из рук. Неужели никогда не играли в такое ?
Если будут четыре человека, например стоящие на вершинах квадрата, тогда им придется взяться двумя руки с соседом по диагонали и просто получится две распавшиеся пары.

[Brukvalub]

VolroRutra в сообщении #1174056 писал(а):

Извиняюсь, я, наверное, невнятно объяснил. Трое детей ни как не могут быть.

Нет, вы невнятно прочли. Это сначала было трое детей, а потом к ним подошло еще много детей, и конструкция стала удовлетворять условию

VolroRutra в сообщении #1174056 писал(а):

можно двумя руками взять за руку не своего соседа.

[VolroRutra]

Brukvalub в сообщении #1174058 писал(а):

Нет, вы невнятно прочли. Это сначала было трое детей, а потом к ним подошло еще много детей, и конструкция стала удовлетворять условию

Теперь понял. Так и вправду первоначальный круг не образуешь. Тогда интересно что же у нас происходило ? Может есть какие-то условия при которых его можно образовать ?

[arseniiv]

В общем, нечётное число детей должно быть, если всегда берут за руку следующего за соседом. И никаких особых познаний в топологии или теории графов для этого вывода не нужно.

[DeBill]

VolroRutra в сообщении #1174062 писал(а):

Тогда интересно что же у нас происходило ?

А Вы, наверное, брали за руку несоседа по какому-либо правилу (типа, как arseniiv предложил). Кроме того, руки у вас в школе были недостаточно гибкие и длинные, видимо. Потому что, даже если у нас получилось не так страшно, как у Brukvalubа (т.е., граф получился таки связным), то "образовать первоначальный круг" - это распутать узел (показать его тривиальность). Но есть же нетривиальные узлы! Даже если брать за руку следующего за соседом, но руки соединять не поверх (или пониз (?)) рук соседа, а промеж них
- уже, вроде , получится нетривиальный узел ("пятилистник"?)

[VolroRutra]

arseniiv в сообщении #1174087 писал(а):

В общем, нечётное число детей должно быть, если всегда берут за руку следующего за соседом. И никаких особых познаний в топологии или теории графов для этого вывода не нужно.

Ну, это самый скучный случай. Я даже не думаю, что он реализовался. Хотелось бы что-то более обобщенное, ведь круг можно образовать как при четном, так и при нечетном количестве участников.

DeBill в сообщении #1174112 писал(а):

Кроме того, руки у вас в школе были недостаточно гибкие и длинные, видимо. Потому что, даже если у нас получилось не так страшно, как у Brukvalubа (т.е., граф получился таки связным), то "образовать первоначальный круг" - это распутать узел (показать его тривиальность). Но есть же нетривиальные узлы! Даже если брать за руку следующего за соседом, но руки соединять не поверх (или пониз (?)) рук соседа, а промеж них
- уже, вроде , получится нетривиальный узел ("пятилистник"?)

Можете посоветовать что-нибудь научно-популярное на эту тему ? Все мои познания о графах ограничиваются Кёнигсбергскими мостами.

Что-то я поторопился: забыл, что здесь есть замечательный раздел по литературе. Хотя, чему-нибудь дополнительному был бы рад.

[B@R5uk]

Тут ещё есть проблема, если в правилах требуется меняться местами не отпуская руки. Взявшись за руки можно образовать узел. Тогда сколько его не крути, он так узлом и останется.