Формула Тейлора

[Diosio]

$f(x)=\cos(2x+1)$; $a=0$
Как я понял надо взять несколько производных и найти зависимость между ними и потом подставить в ряд Маклорена:
$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_n(x)$
$f'(x)=-2\sin(2x-1)$
$f''(x)=-4\cos(2x-1)$
$f^{(3)}(x)=8\sin(2x-1)$
$f^{(4)}(x)=16\cos(2x-1)$
$f^{(5)}(x)=-32\sin(2x-1)$
$f^{(6)}(x)=-64\cos(2x-1)$
теперь если подставить 0, то:
$f'(0)=-2\sin(1)$
$f''(0)=-4\cos(1)$
$f^{(3)}(0)=8\sin(1)$
$f^{(4)}(0)=16\cos(1)$
$f^{(5)}(0)=-32\sin(1)$
$f^{(6)}(0)=-64\cos(1)$
и тут видна зависимость между производными четного порядка и нечетного, которую я не могу записать, у меня получается:
$f^{(2n-1)}(0)=(-1)^{?}2^{n}\sin1$
$f^{(2n)}(0)=(-1)^{?}2^{n}\cos1$
дальше я не знаю что делать.
Если разложить $\cos(2x+1)$ как косинус суммы, то получится:
$f(x)=\cos(2x)\cos(1)-\sin(2x)\sin(1)$ и дальше раскрадывать косинус и синус двойного угла?

[Lia]

Diosio в сообщении #1172570 писал(а):

Как я понял надо взять несколько производных

Ни в коем случае. Стандартные ряды Тейлора Вы должны знать. Сводите к ним.

[sergei1961]

Косинус суммы знаете?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Правим формулу.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 29.11.2016, 02:45 --

Diosio в сообщении #1172570 писал(а):

Если разложить $\cos(2x+1)$ как косинус суммы, то получится:
$f(x)=\cos(2x)\cos(1)-\sin(2x)\sin(1)$ и дальше раскрадывать косинус и синус двойного угла?

Не надо. $\cos 2x$ умеете в ряд раскладывать?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Diosio в сообщении #1172570 писал(а):

раскрадывать косинус

Когда-то я составил программу математики для юристов.

Цитата:

теория преступных групп (уголовное право)
принцип наименьшего действия (трудовое право)
операционный анализ (судебная медицина)
метод наименьших квадратов (тюремное законодательство)
теория меры (уголовно-процессуальное право)
деление в конечных полях (сельскохозяйственное право)
теория конечных автоматов (незаконный оборот оружия)
группы и идеалы (спецкурс для полиции нравов)
след матрицы (криминалистика)
теорема о двух милиционерах (административное право)

Теперь обучают противную сторону?

А по сути вопроса - ничего незаконного в подходе топикстартера нет, только нецелесообразное. Просто подставить вместо икса $2x+1$ и расписать.

[Diosio]

У меня получается:
$f(x)=(1-\dfrac{2^{2}}{2!}x^{2}+\dfrac{2^{4}}{4!}x^{4}-...+(-1)^{n}\dfrac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}+...)\cos1-(\frac{2x}{1!}-\frac{(2x)^{3}}{3!}-...+\frac{(-1)^{n+1}(2x)^{2n-1}}{(2n-1)!}-...)\sin1$
А что с этим дальше делать?

[bot]

Если нет знакомого пятиклассника, то самому раскрыть скобки и навести порядок в слагаемых.

[Singular]

В рядах заменить, например, $z=2x$ и увидеть, что это есть известные разложения в ряд известных функций. Ну, а потом, быстренько всё свернуть и получить ответ.

Цитата:

"Элементарно, мой дорогой Ватсон, элементарно!" (с)

[iifat]

Я, похоже, один не понимаю: а где, собственно, вопрос?

[Diosio]

iifat в сообщении #1172747 писал(а):

Я, похоже, один не понимаю: а где, собственно, вопрос?

Вопрос заключается в том, как мне разложить $f(x)=\cos(2x+1)$ по формуле Тейлора

-- 29.11.2016, 17:48 --

Ну вот я раскрыл скобки, получилось:
$f(x)=\cos1 -\dfrac{2x}{1!}\sin1 -\dfrac{(2x)^{2}}{2!}\cos1 +\dfrac{(2x)^{3}}{3!}\sin1 +\dfrac{(2x)^{4}}{4!}\cos1 -...+(-1)^{n}\dfrac{(2x)^{2n-1}}{(2n-1)!}\sin1 +(-1)^{n}\dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\cos1$
А дальше что с этим делать?

[Brukvalub]

Diosio в сообщении #1172778 писал(а):

А дальше что с этим делать?

Это и есть нужное разложение. Одно плохо - не хватает остаточного члена.

[Diosio]

$f(x)=\cos1 -\dfrac{2x}{1!}\sin1 -\dfrac{(2x)^{2}}{2!}\cos1 +\dfrac{(2x)^{3}}{3!}\sin1 +\dfrac{(2x)^{4}}{4!}\cos1 -...+(-1)^{n}\dfrac{(2x)^{2n-1}}{(2n-1)!}\sin1 +(-1)^{n}\dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\cos1 +o((2x)^{2n+1})\cos1 +o((2x)^{2n+2})\sin1$
Теперь правильно?

[Brukvalub]

Diosio в сообщении #1172792 писал(а):

Теперь правильно?

Теперь ясно видно, что вы совсем не понимаете смысла символов Ландау.

[ewert]

Ну формально-то правильно, хоть и неприлично.