Количество разложений пространства над конечным полем

[ikozyrev]

Решаю задачку из прошлых эказменов НМУ:
Сколькими способами можно разложить пятимерное пространство над $\math \mathbb F_p$ в прямую сумму двухмерного и трехмерного подпространств?

Пользуемся следующей формулой количества разных подпространств размерности $\math k$ в $\math n $ -мерном векторном пространстве над полем из $\math q$ элементов:
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^n-q^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^k-q^{(i-1)})}$

Соотвественно, разных трехмерных пространств в пятимерном над полем $\math \mathbb F_p$ будет:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})}$

Для каждого из этих трехмерных будет существовать:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$ двумерных пространств, вложенных в него.

А всего двумерных пространств в пятимерном:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$

Следовательно, прямые суммы с нашим трехмерным будут образовывать
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$ пространств.

То есть итоговый ответ:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})} (\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})})$

Все ли верно?

[Xaositect]

Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

[ikozyrev]

Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):

Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

-- 28.11.2016, 13:40 --

ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):

Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):

Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

Что то затык какой-то. Как такие пересечения посчитать? Ясно что сумма пересекающихся 2-х мерий и 3-х мерий по одномерию будут составлять 4-хмерное пространство. Может как то через это попробовать?

[ikozyrev]

ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):

Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):

Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

-- 28.11.2016, 13:40 --

ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):

Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):

Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

Что то затык какой-то. Как такие пересечения посчитать? Ясно что сумма пересекающихся 2-х мерий и 3-х мерий по одномерию будут составлять 4-хмерное пространство. Может как то через это попробовать?

Или может просто вычесть количество всех различных одномерных пространств в данном трехмерии, ведь все они будут так или иначе образованы пересечениями с данным трехмерием всех остальных (не вложенных в данное трехмерие) двухмерий?
То есть итоговая формула будет такова:
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})} (\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{1}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{1}(p^1-p^{(i-1)})})$