2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Количество разложений пространства над конечным полем
Сообщение28.11.2016, 11:44 
Решаю задачку из прошлых эказменов НМУ:
Сколькими способами можно разложить пятимерное пространство над $\math \mathbb F_p$ в прямую сумму двухмерного и трехмерного подпространств?

Пользуемся следующей формулой количества разных подпространств размерности $\math k$ в $\math n $ -мерном векторном пространстве над полем из $\math q$ элементов:
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^n-q^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^k-q^{(i-1)})}$

Соотвественно, разных трехмерных пространств в пятимерном над полем $\math \mathbb F_p$ будет:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})}$

Для каждого из этих трехмерных будет существовать:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$ двумерных пространств, вложенных в него.

А всего двумерных пространств в пятимерном:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$

Следовательно, прямые суммы с нашим трехмерным будут образовывать
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})}$ пространств.

То есть итоговый ответ:

$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})} (\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})})$

Все ли верно?

 
 
 
 Re: Количество разложений пространства над конечным полем
Сообщение28.11.2016, 11:50 
Аватара пользователя
Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

 
 
 
 Re: Количество разложений пространства над конечным полем
Сообщение28.11.2016, 11:56 
Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):
Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

-- 28.11.2016, 13:40 --

ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):
Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):
Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.


Что то затык какой-то. Как такие пересечения посчитать? Ясно что сумма пересекающихся 2-х мерий и 3-х мерий по одномерию будут составлять 4-хмерное пространство. Может как то через это попробовать?

 
 
 
 Re: Количество разложений пространства над конечным полем
Сообщение28.11.2016, 13:23 
ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):
Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):
Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.

-- 28.11.2016, 13:40 --

ikozyrev в сообщении #1172352 писал(а):
Xaositect в сообщении #1172349 писал(а):
Вы не учитываете, что может быть пересечение по одномерному пространству.

ААААА точно. Из общего количества двумерных еще нужно еще вычесть количество пересекающихся по одномерному. Осталось прикинуть сколько их таких.


Что то затык какой-то. Как такие пересечения посчитать? Ясно что сумма пересекающихся 2-х мерий и 3-х мерий по одномерию будут составлять 4-хмерное пространство. Может как то через это попробовать?


Или может просто вычесть количество всех различных одномерных пространств в данном трехмерии, ведь все они будут так или иначе образованы пересечениями с данным трехмерием всех остальных (не вложенных в данное трехмерие) двухмерий?
То есть итоговая формула будет такова:
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{3}(p^3-p^{(i-1)})} (\frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^5-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{2}(p^2-p^{(i-1)})} - \frac{\prod\limit_{i=1}^{1}(p^3-p^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{1}(p^1-p^{(i-1)})})$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group