Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.

[Феликс Шмидель]

Я пока не знаю, как доказать ВТФ для всех $n$, но могу завершить доказательство ВТФ кодом для конкретных $n$.

Прежде всего установим, как меняются коэффициенты $b_0, b_1, ..., b_{n-1}$ при небольшом изменении $u$.
Код показывает, что все коэффициенты положительны, и каждый из них слегка уменьшается при увеличении $u$.
Но доказать это я пока не могу.

Каждый коэффициент является суммой произведений, поэтому оценим как меняется произведение, если известно, как меняются сомножители.
Пусть даны $k$ фунций $f_1(u), ..., f_k(u)$, два значения аргумента $u_1$ и $u_2$, и пусть $\lvert f_j(u_2)-f_j(u_1) \rvert \le \varepsilon_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Пусть $\lvert f_j(u) \rvert \le M$ для любого $j=1, ..., k$.
Покажем по индукции, что $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le M^{k-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_k)$.
При $k=1$ это дано.
Предположим это верно для $k=m$.
Покажем, что это верно для $k=m+1$.

$\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2) f_{m+1}(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) f_{m+1}(u_1) \rvert=\lvert f_{m+1}(u_2) (f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1))+f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) (f_{m+1}(u_2)-f_{m+1}(u_1)) \rvert \le M M^{m-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_m)+M^m \varepsilon_{m+1}=M^m (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{m+1})$.

Мы доказали:

(44) $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le M^{k-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_k)$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Функция $\sqrt{1-u}$ равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$.
Если $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$, то $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2} \le \sqrt{(1-u_1)-(1-u_2)}<\sqrt{\delta}$.

Функция $\sqrt{1-u_1 i_n^j}$ также равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$, для любого $j=1, 2, ..., (n-1)$.
Согласно теореме о промежуточном значении:

(45) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert (\sqrt{1-u_1 i_n^j})'_{u=\xi} \rvert$,

где $\xi$ - промежуточное значение между $u_1$ и $u_2$.

Заметим, что неравенство (45) отличается от равенства в теореме о промежуточном значении для функций с действительными значениями.
Мы применили теорему о промежуточном значении для векторзначных функций (Рудин, "Основы математического анализа", стр. 124, теорема 5.20).

Из (45) следует:

(46) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert \frac{1}{2 \sqrt{1-\xi i_n^j}} \rvert$

Поскольку $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge \sin(2 \pi/n)$, то из (46) следует:

(47) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (44), (47) и неравенства $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2}<\sqrt{\delta}$ следует:

(48) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k-1} ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$ (при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$)

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Установим теперь, как меняется произведение $b_k w^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w(u_1)^{(k-1)/2}-w(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$2^{(k-1)/2} C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k-1} ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+$ $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k} 2^{(k-3)/2} ((k-1)/2) \delta$.

Следовательно:

(49) $\lvert b_k(u_1) w(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le $ $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-4} (2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta)$,

для любого $k=1, 3, ..., n-2$.

Продолжение следует.

-- Сб ноя 26, 2016 17:00:16 --

Обозначим $\varepsilon_k=2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta$.
Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа

Тогда из (49) следует:

(50) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le$ $\sqrt{2}^{n-4} (\sqrt{2} ((n-1)/2) \delta+C_n^2 \varepsilon_{n-2}+C_n^4 \varepsilon_{n-4}+...C_n^{n-1} \varepsilon_1)$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ (при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (40), (44) и (50) следует:

(51) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le$ $2^{(3/2) (n-1)^2} n \sqrt{2}^{n-4} (\sqrt{2} ((n-1)/2) \delta+C_n^2 \varepsilon_{n-2}+C_n^4 \varepsilon_{n-4}+...C_n^{n-1} \varepsilon_1)$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,
$\varepsilon_k=2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta$, для любого $k=0, 1, ..., n-1$,
при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Оценку (51) следует улучшить, потому что приращение $\delta$, которое позволило бы доказать ВТФ для $n=5$ слишком маленькое, и код исполнялся бы слишком много времени.
Я заменил в (51) $2^{(3/2) (n-1)^2}$ на $2^{(4/3) (n-1)^2}$ и взял приращение $\delta=1/3000000$.
Код на "Ubasic" исполнялся минут 15.
Разница норм в (51) получается довольно большой даже при таком маленьком приращении $\delta$ (а код показывает, что на самом деле разница норм очень маленькая).
Тем не менее код проверяет, что все вычисляемые нормы, больше $350000$, а разница норм в (51) получается не больше $330000$.
Таким образом, на интервале $u \in [0, 1]$ норма $N(w^2+b_3 w+b_1)$ больше $20000$, что завершает доказательство ВТФ для $n=5$.

Я обнаружил, что с этим приращением $1/3000000$, норма $N(w^2+b_3 w+b_1)$ сначала возрастает, затем начинает убывать.
Значит в интервале $u \in (0, 1)$ есть экстремум, который является максимумом нормы.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Займёмся улучшением оценки (51).
Начнём с того, что:

(52) $\lvert 1-u i_n^j \rvert \le 2 \sin(j \pi/n)$, для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Пусть даны $k$ фунций $f_1(u), ..., f_k(u)$, два значения аргумента $u_1$ и $u_2$, и пусть $\lvert f_j(u_2)-f_j(u_1) \rvert \le \varepsilon_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Пусть $\lvert f_j(u) \rvert \le M_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Покажем по индукции, что $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le$ $M_1 M_2 ... M_k (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_k})$.
При $k=1$ это дано.
Предположим это верно для $k=m$.
Покажем, что это верно для $k=m+1$.

$\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2) f_{m+1}(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) f_{m+1}(u_1) \rvert=\lvert f_{m+1}(u_2) (f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1))+f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) (f_{m+1}(u_2)-f_{m+1}(u_1)) \rvert \le M_{m+1} M_1 M_2 ... M_m (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_2}{M_m})+M_1 M_2 ... M_m \varepsilon_{m+1}=M_1 M_2 ... M_{m+1} (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_{m+1}})$.

Мы доказали:

(53) $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le$ $M_1 M_2 ... M_k (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_k})$.

Мы ввели дроби в правой части неравенства (53), чтобы не писать громоздкие произведения.
Если $M_1=0$, то первое слагаемое будет не в форме дроби, а в форме произведения $M_2 ... M_k \varepsilon_1$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Функция $\sqrt{1-u}$ равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$.
Если $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$, то $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2} \le \sqrt{(1-u_1)-(1-u_2)}<\sqrt{\delta}$.

Следовательно:

(54) $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2}<\sqrt{\delta}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Функция $\sqrt{1-u_1 i_n^j}$ также равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$, для любого $j=1, 2, ..., (n-1)$.
Согласно теореме о промежуточном значении:

(55) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert (\sqrt{1-u_1 i_n^j})'_{u=\xi} \rvert$,

где $\xi$ - промежуточное значение между $u_1$ и $u_2$.

Заметим, что неравенство (55) отличается от равенства в теореме о промежуточном значении для функций с действительными значениями.
Мы применили теорему о промежуточном значении для векторзначных функций (Рудин, "Основы математического анализа", стр. 124, теорема 5.20).

Из (55) следует:

(56) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert \frac{1}{2 \sqrt{1-\xi i_n^j}} \rvert$

Если $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$, то $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge \lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert$.
Если $n/4<j<3 n/4$, то $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge 1$.

Следовательно:

(57) $\lvert \sqrt{1-\xi i_n^j} \rvert \ge m_j$,

где $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$, и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$.

Из (54), (56) и (57) следует:

(58) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le \delta /(2 m_j)$,

где $m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Из (52), (53) и (58) следует:

(59) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le$ $\delta \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)} (\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,

где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (52) следует:

(60) $\lvert b_k \rvert \le \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Из (52) и (60) следует:

(61) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert \le$ $(2 \sin(j \pi/n))^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} (2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} 2 \sin(j \pi/n)+M_{b_1}$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Установим теперь, как меняется произведение $b_k w_j^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w_j(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w_j(u_1)^{(k-1)/2}-w_j(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$\delta (2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $\delta M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$.

Следовательно:

(62) $\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le \delta D_k$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$, где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
$D_k=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Продолжение следует.

-- Вс ноя 27, 2016 10:32:07 --

Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа.

Обозначим $D_n=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Тогда из (62) следует:

(63) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le \delta (D_n+D_{n-2}+...+D_1)$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
$w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа,

$D_k=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,

$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$D_n=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (53), (61) и (63) следует:

(64) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le \delta M_{\varphi 0} M_{\varphi 1}...M_{\varphi (n-1)} \sum_{j=0}^{n-1}\frac{D_{n j}+D_{(n-2) j}+...+D_{1 j}}{M_{\varphi j}}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,

$M_{\varphi j}=$ $(2 \sin(j \pi/n))^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} (2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} 2 \sin(j \pi/n)+M_{b_1}$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
$D_{k j}=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,

$D_{n j}=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Проверка показала, что я неверно вычислил максимум фунцкии $\lvert 1-u i_n^j \rvert$ (неравенство (52)).
Если $\sin(j \pi/n)<1/2$, то этот максимум равен $1$, а не $2 \sin(j \pi/n)$.

Нужно исправлять.

Продолжениие следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим (52):

(52) $\lvert 1-u i_n^j \rvert \le M_{w_j}$,

для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
где $M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$

Исправим (59):

Из (52), (53) и (58) следует:

(59) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le$ $\delta \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}} (\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (60):

Из (52) следует:

(60) $\lvert b_k \rvert \le \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (61):

Из (52) и (60) следует:

(61) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert \le$ $M_{w_j}^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} M_{w_j}^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} M_{w_j}+M_{b_1}$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (62):

Установим теперь, как меняется произведение $b_k w_j^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w_j(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w_j(u_1)^{(k-1)/2}-w_j(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$\delta M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $\delta M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$.

Следовательно:

(62) $\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le \delta D_k$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., n-1$, где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
$D_k=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (63):

Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа.

Обозначим $D_n=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Тогда из (62) следует:

(63) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le \delta (D_n+D_{n-2}+...+D_1)$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
$w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа,

$D_k=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$D_n=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Исправим (64):

Из (53), (61) и (63) следует:

(64) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le \delta M_{\varphi 0} M_{\varphi 1}...M_{\varphi (n-1)} \sum_{j=0}^{n-1}\frac{D_{n j}+D_{(n-2) j}+...+D_{1 j}}{M_{\varphi j}}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,

$M_{\varphi j}=$ $M_{w_j}^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} M_{w_j}^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} M_{w_j}+M_{b_1}$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
$D_{k j}=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,

$D_{n j}=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

[Феликс Шмидель]

С оценкой (64), для доказательства ВТФ для $n=5$ достаточно взять приращение $\delta=50000$.
С этим приращением, программа на "Ubasic" исполняется несколько секунд.

Приведём код.

   10   for I=0 to 50000
   20   U=I/50000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
  100   G=2^(1/5)
  110   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  120   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  130   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  140   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  150   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  160   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  170   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  180   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  190   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  200   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  210   if abs(R1+R2)<350000 then print R1+R2,"i=";I
  220   ' if I-10000*int(I/10000)=0 then print R1+R2,I
  230   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  240   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  250   B0=B00+B01
  260   B4=5*A0
  270   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  280   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  290   ' print L1
  300   ' print B4,B3,B2,B1,B0
  310   next I
  320   dim MB(5),S(5),E(5),MW(5),MI(5),DI(5,5)
  322   dim Mph(5)
  330   D=1/50000
  340   for M=1 to 5
  350   S(M)=0
  360   for J=0 to 4
  370   MW(J)=2*sin(J*pi(1)/5)
  380   if J<5/6 or J>5*5/6 then MW(J)=1
  382   MI(J)=D^(1/2)/2
  384   if J>5/4 and J<3*5/4 then MI(J)=1
  386   if (J>0 and J<5/4) or J>3*5/4 then MI(J)=(abs(sin(J*2*pi(1)/5)))^(1/2)
  390   S(M)=S(M)+MW(J)^(M/2)
  400   next J
  410   next M
  420   E(0)=1
  430   E(1)=S(1)
  440   for M=2 to 5
  450   E(M)=0
  460   for K=1 to M
  470   E(M)=E(M)+(-1)^(K-1)*E(M-K)*S(K)
  480   next K
  490   E(M)=E(M)/M
  500   next M
  510   for K=1 to 3 step 2
  520   MB(K)=E(5-K)
  530   next K
  540   for K=1 to 3 step 2
  550   CC$=""
  560   for I=1 to 5-K
  570   CC$=CC$+chr(I)
  580   next I
  590   Sum=0
  600   loop
  610   Sum=Sum+fnNCC(CC$)
  620   CC$=fnNXT(5,5-K,CC$)
  630   if CC$="" goto 650
  640   endloop
  650   for J=0 to 4
  660   DI(K,J)=(MW(J))^((K-1)/2)*Sum+MB(K)*(MW(J))^((K-3)/2)*((K-1)/2)
  670   next J
  690   next K
  700   for J=0 to 4
  710   DI(5,J)=(MW(J))^(2/2)*(4/2)
  720   next J
  730   for J=0 to 4
  740   Mph(J)=0
  750   for K=1 to 3 step 2
  760   Mph(J)=Mph(J)+MB(K)*(MW(J))^((K-1)/2)
  770   next K
  780   Mph(J)=Mph(J)+(MW(J))^(4/2)
  790   next J
  800   Prd=1
  810   for J=0 to 4
  820   Prd=Prd*Mph(J)
  830   next J
  840   Su2=0
  850   for J=0 to 4
  860   Su3=0
  870   for K=1 to 5 step 2
  872   Su3=Su3+DI(K,J)
  880   next K
  890   Su2=Su2+Su3/Mph(J)
  900   next J
  910   Prd=D*Prd*Su2
  920   print Prd
 2000   end
 3000   fnNXT(N,K,C$)
 3002   ' get the next combination from the current c$ and return it
 3004   ' the length of each combination string is k
 3006   local Ist,Ch,I9,B$
 3010   Ist=K
 3018   ' find suitable index ist
 3020   loop
 3030   Ch=asc(mid(C$,Ist,1))
 3040   if Ch+K-Ist+1<=N goto 3100
 3050   Ist=Ist-1
 3060   if Ist=0 goto 3100
 3070   endloop
 3100   if Ist=0 then return("")
 3110   B$=""
 3120   for I9=0 to K-Ist
 3130   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
 3140   next I9
 3150   return(left(C$,Ist-1)+B$)
 4000   fnNCC(C$)
 4010   local I9,Ch,Pro,Su1
 4012   Pro=1
 4020   for I9=1 to len(C$)
 4030   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4040   Pro=Pro*(MW(Ch-1))^(1/2)
 4050   next I9
 4060   Su1=0
 4070   for I9=1 to len(C$)
 4080   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4090   Su1=Su1+1/(2*MI(Ch-1)*(MW(Ch-1))^(1/2))
 4100   next I9
 4160   return(Pro*Su1)

Этот код можно упростить и приспособить для любого $n$.
Думаю, что таким образом можно доказать ВТФ для нескольких последующих значений $n$.

-- Пн ноя 28, 2016 08:55:27 --

Будем проверять это доказательство ВТФ для $n=5$?

-- Пн ноя 28, 2016 09:21:04 --

Вычисление коэффициентов $a_0, ..., a_{n-1}$ не нужно для доказательства, так как коэффициенты $b_0, ..., b_{n-1}$ вычисляются непосредственно из выражений $\sqrt{1-u}, \sqrt{1-u i_n}, ..., \sqrt{1-u i_n^{n-1}}$.
Поэтому из программы можно выкинуть громоздкие выражения с коэффициентами $a_0, ..., a_{n-1}$.
Мы использовали простой алгоритм генерации сочетаний и проверили его с формулой Ньютона.
Вычисления по формуле Ньютона можно выкинуть из программы.
В этой теме мы искали доказательство и делали исправления, само доказательство можно написать гораздо короче,

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #1172334 писал(а):

Будем проверять это доказательство ВТФ для $n=5$?

Мне жаль, что я лично не способен сделать проверку на нужном уровне. Иначе я бы с чистой совестью посоветовал следующее:

Соберите, пожалуйста, всё в итоговом сообщении / теме, пока это свежо в памяти. Тем более что:

Феликс Шмидель в сообщении #1172334 писал(а):

само доказательство можно написать гораздо короче

[Феликс Шмидель]

Я начал писать более простой код, и увидел несовпадение: для $u=1$ на самом деле получается значение не около $350000$, а около $150000$.
В первой программе есть ошибки при вычислении этого значения: в одном месте пропущено слагаемое, но это не сильно влияет на результат.
Главная ошибка в том, что первая программа работает с выражением $1-u \sqrt[n]{4}$, в то время, как вторая программа, а также оценка (64) с выражением $1-u$.
Будем работать с выражением $1-u$ и второй программой (когда я её закончу), так как она гораздо более простая.
Число $150000$ тоже достаточно большое, но оценка (64) даёт с приращением $1/50000$ бОльшее число, поэтому доказательство нужно исправлять.

C приращением $\delta=1/300000$, доказательство проходит (оценка (64) даёт значение около $120000$, что меньше $150000$).