Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.

[Феликс Шмидель]

Я написал более простую программу:

   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of intervals";
   40   input Nintervals
   50   dim V(N),B(N),W(N),Ph(N)
   70   for I=0 to Nintervals
   80   U=I/Nintervals
   90   In=cos(pi(2)/N)+#i*sin(pi(2)/N)
  100   for J=0 to N-1
  110   W(J)=1-U*In^(2*J)
  120   V(J)=W(J)^(1/2)
  130   next J
  140   for K=1 to N-2 step 2
  150   Combination$=""
  160   for I1=1 to N-K
  170   Combination$=Combination$+chr(I1)
  180   next I1
  190   B(K)=0
  200   while Combination$<>""
  210   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
  220   Combination$=fnNextComb(Combination$)
  230   wend
  240   next K
  250   for J=0 to N-1
  260   Ph(J)=0
  270   for K=1 to N-2 step 2
  280   Ph(J)=Ph(J)+B(K)*(W(J))^((K-1)/2)
  290   next K
  300   Ph(J)=Ph(J)+(W(J))^((N-1)/2)
  310   next J
  320   Norm_phi=1
  330   for J=0 to N-1
  340   Norm_phi=Norm_phi*Ph(J)
  350   next J
  360   ' print Norm_phi
  400   next I
 2010   ' '=====================================
 3000   dim Mb(N),Mw(N),Mi(N),Di(N,N),Mph(N)
 3010   Delta=1/300000
 3020   for J=0 to N-1
 3030   Mw(J)=2*sin(J*pi(1)/N)
 3040   if J<N/6 or J>5*N/6 then Mw(J)=1
 3050   Mi(J)=Delta^(1/2)/2
 3060   if J>N/4 and J<3*N/4 then Mi(J)=1
 3070   if (J>0 and J<N/4) or J>3*N/4 then Mi(J)=abs(sin(J*2*pi(1)/N))^(1/2)
 3080   next J
 3120   for K=1 to N-2 step 2
 3130   Combination$=""
 3140   for I=1 to N-K
 3150   Combination$=Combination$+chr(I)
 3160   next I
 3170   Mb(K)=0
 3180   while Combination$<>""
 3190   Mb(K)=Mb(K)+fnMBkComb(Combination$)
 3200   Combination$=fnNextComb(Combination$)
 3210   wend
 3220   next K
 3230   for K=1 to N-2 step 2
 3250   Combination$=""
 3260   for I=1 to N-K
 3270   Combination$=Combination$+chr(I)
 3280   next I
 3290   Sum=0
 3300   while Combination$<>""
 3310   Sum=Sum+fnMBkComb(Combination$)*fnFracSumComb(Combination$)
 3320   Combination$=fnNextComb(Combination$)
 3330   wend
 3340   for J=0 to N-1
 3350   Di(K,J)=Mw(J)^((K-1)/2)*Sum+Mb(K)*Mw(J)^((K-3)/2)*((K-1)/2)
 3360   next J
 3370   next K
 3380   for J=0 to N-1
 3390   Di(N,J)=Mw(J)^((N-3)/2)*((N-1)/2)
 3400   next J
 3410   for J=0 to N-1
 3420   Mph(J)=0
 3430   for K=1 to N-2 step 2
 3440   Mph(J)=Mph(J)+Mb(K)+Mw(J)^((K-1)/2)
 3450   next K
 3460   Mph(J)=Mph(J)+Mw(J)^((N-1)/2)
 3470   next J
 3480   Product=1
 3490   for J=0 to N-1
 3500   Product=Product*Mph(J)
 3510   next J
 3520   Sum2=0
 3530   for J=0 to N-1
 3540   Sum3=0
 3550   for K=1 to N step 2
 3560   Sum3=Sum3+Di(K,J)
 3570   next K
 3580   Sum2=Sum2+Sum3/Mph(J)
 3590   next J
 3600   Norm_diff=Delta*Product*Sum2
 3610   print Norm_diff
 3900   ' =========================================
 4000   end
 4350   fnNextComb(C$)
 4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
 4370   Indexdo=len(C$)
 4380   ' find suitable index Indexdo
 4390   loop
 4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
 4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
 4420   Indexdo=Indexdo-1
 4430   if Indexdo=0 goto 4450
 4440   endloop
 4450   if Indexdo=0 then return("")
 4460   B$=""
 4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
 4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
 4490   next I9
 4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
 4510   ' ===================================
 4610   fnBkComb(C$)
 4620   local I9,Ch,Product
 4630   Product=1
 4640   for I9=1 to len(C$)
 4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4660   Product=Product*V(Ch-1)
 4670   next I9
 4680   return(Product)
 4690   ' =====================================
 4700   fnMBkComb(C$)
 4710   local I9,Ch,Product
 4720   Product=1
 4730   for I9=1 to len(C$)
 4740   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4750   Product=Product*Mw(Ch-1)^(1/2)
 4760   next I9
 4770   return(Product)
 4780   ' =======================================
 4800   fnFracSumComb(C$)
 4810   local I9,Ch,Sum
 4820   Sum=0
 4830   for I9=1 to len(C$)
 4840   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4850   Sum=Sum+1/(2*Mi(Ch-1)*Mw(Ch-1)^(1/2))
 4860   next I9
 4870   return(Sum)

После исправления нескольких ошибок, она выдаёт ожидаемые результаты и доказывает ВТФ для $n=5$ c приращением $\delta=1/300000$.

-- Вт ноя 29, 2016 01:38:47 --

Чтобы доказать ВТФ для $n=7$ этим способом нужно взять приращение $\delta=50000000$.
Программа справится, но будет работать долго.

[Феликс Шмидель]

Немного улучшенная версия программы:

   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of intervals";
   40   input Nintervals
   50   dim V(N),B(N),W(N),Ph(N)
   60   Norm_at_u_1=fnGetNorm(1)
   70   for I=0 to Nintervals
   80   U=I/Nintervals
   90   Norm_at_u=fnGetNorm(U)
  100   if re(Norm_at_u)<re(Norm_at_u_1) then print "Norm at u=";U;" is less than Norm at u=1"
  110   next I
  120   print "Minimal norm=";re(Norm_at_u_1)
 2010   ' =====================================
 2020   ' caclulate the estimate of the norm difference
 2030   ' =====================================
 3000   dim Mb(N),Mw(N),Mi(N),Di(N,N),Mph(N)
 3010   Delta=1/300000
 3020   for J=0 to N-1
 3030   Mw(J)=2*sin(J*pi(1)/N)
 3040   if J<N/6 or J>5*N/6 then Mw(J)=1
 3050   Mi(J)=Delta^(1/2)/2
 3060   if J>N/4 and J<3*N/4 then Mi(J)=1
 3070   if (J>0 and J<N/4) or J>3*N/4 then Mi(J)=abs(sin(J*2*pi(1)/N))^(1/2)
 3080   next J
 3120   for K=1 to N-2 step 2
 3130   Combination$=""
 3140   for I=1 to N-K
 3150   Combination$=Combination$+chr(I)
 3160   next I
 3170   Mb(K)=0
 3180   while Combination$<>""
 3190   Mb(K)=Mb(K)+fnMBkComb(Combination$)
 3200   Combination$=fnNextComb(Combination$)
 3210   wend
 3220   next K
 3230   for K=1 to N-2 step 2
 3250   Combination$=""
 3260   for I=1 to N-K
 3270   Combination$=Combination$+chr(I)
 3280   next I
 3290   Sum=0
 3300   while Combination$<>""
 3310   Sum=Sum+fnMBkComb(Combination$)*fnFracSumComb(Combination$)
 3320   Combination$=fnNextComb(Combination$)
 3330   wend
 3340   for J=0 to N-1
 3350   Di(K,J)=Mw(J)^((K-1)/2)*Sum+Mb(K)*Mw(J)^((K-3)/2)*((K-1)/2)
 3360   next J
 3370   next K
 3380   for J=0 to N-1
 3390   Di(N,J)=Mw(J)^((N-3)/2)*((N-1)/2)
 3400   next J
 3410   for J=0 to N-1
 3420   Mph(J)=0
 3430   for K=1 to N-2 step 2
 3440   Mph(J)=Mph(J)+Mb(K)+Mw(J)^((K-1)/2)
 3450   next K
 3460   Mph(J)=Mph(J)+Mw(J)^((N-1)/2)
 3470   next J
 3480   Product=1
 3490   for J=0 to N-1
 3500   Product=Product*Mph(J)
 3510   next J
 3520   Sum2=0
 3530   for J=0 to N-1
 3540   Sum3=0
 3550   for K=1 to N step 2
 3560   Sum3=Sum3+Di(K,J)
 3570   next K
 3580   Sum2=Sum2+Sum3/Mph(J)
 3590   next J
 3600   Norm_diff=Delta*Product*Sum2
 3610   print "Norm difference=";re(Norm_diff)
 3620   print "delta=1 /";int(1/Delta)
 3900   ' =========================================
 4000   end
 4350   fnNextComb(C$)
 4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
 4370   Indexdo=len(C$)
 4380   ' find suitable index Indexdo
 4390   loop
 4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
 4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
 4420   Indexdo=Indexdo-1
 4430   if Indexdo=0 goto 4450
 4440   endloop
 4450   if Indexdo=0 then return("")
 4460   B$=""
 4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
 4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
 4490   next I9
 4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
 4510   ' ===================================
 4610   fnBkComb(C$)
 4620   local I9,Ch,Product
 4630   Product=1
 4640   for I9=1 to len(C$)
 4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4660   Product=Product*V(Ch-1)
 4670   next I9
 4680   return(Product)
 4690   ' =====================================
 4700   fnMBkComb(C$)
 4710   local I9,Ch,Product
 4720   Product=1
 4730   for I9=1 to len(C$)
 4740   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4750   Product=Product*Mw(Ch-1)^(1/2)
 4760   next I9
 4770   return(Product)
 4780   ' =======================================
 4800   fnFracSumComb(C$)
 4810   local I9,Ch,Sum
 4820   Sum=0
 4830   for I9=1 to len(C$)
 4840   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4850   Sum=Sum+1/(2*Mi(Ch-1)*Mw(Ch-1)^(1/2))
 4860   next I9
 4870   return(Sum)
 4900   ' ===========================================
 5000   fnGetNorm(U)
 5002   local In,J,K,I1,Combination$
 5010   In=cos(pi(2)/N)+#i*sin(pi(2)/N)
 5020   for J=0 to N-1
 5030   W(J)=1-U*In^(2*J)
 5040   V(J)=W(J)^(1/2)
 5050   next J
 5060   for K=1 to N-2 step 2
 5070   Combination$=""
 5080   for I1=1 to N-K
 5090   Combination$=Combination$+chr(I1)
 5100   next I1
 5110   B(K)=0
 5120   while Combination$<>""
 5130   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
 5140   Combination$=fnNextComb(Combination$)
 5150   wend
 5160   next K
 5170   for J=0 to N-1
 5180   Ph(J)=0
 5190   for K=1 to N-2 step 2
 5200   Ph(J)=Ph(J)+B(K)*(W(J))^((K-1)/2)
 5210   next K
 5220   Ph(J)=Ph(J)+(W(J))^((N-1)/2)
 5230   next J
 5240   Norm_phi=1
 5250   for J=0 to N-1
 5260   Norm_phi=Norm_phi*Ph(J)
 5270   next J
 5280   return(Norm_phi)

[Феликс Шмидель]

Обоснуем теперь случай произвольного нечётного простого $n$ так, как мы сделали это для $n=5$.
Пусть $w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$, $v=\sqrt{w}$, $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$.

Тогда

(70) $b_{n-1} w^{(n-1/2)}+b_{n-3} w^{(n-3/2)}+...+b_2 w+b_0=$ $(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) v$,

Из (70) следует:

(71) $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $w-t_k$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$.

Если $w-t_k$ и $w_1-t_k$ имеют общий делитель (идеал), то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.

Тогда $\rho_1$ входит в разложение $n-1$ из $n$ сопряжённых чисел $w-t_k, w_1-t_k, ..., w_{n-1}-t_k$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих $n$ чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$.
В произведение $n$ чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+(n-1) m_1$.

Из этого и (71) следует:

(72) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1} (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$.

Перемножая сравнения (72) для $k=1, 2, ..., (n-1)/2$ получим:

(73) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, причём $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$ - целое рациональное число.

Из (73) следует:

(74) $(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (74) следует:

(75) $(x y)^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (75) следует неравенство:

(76) $z^{(n-1)/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я вижу ошибку: из (75) следует неравенство:

(76) $z^{(n-1)^2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Что ставит под сомнение наше доказательство, в том числе и для $n=5$.
Вопрос теперь в том, можно ли его спасти.

[Феликс Шмидель]

Думаю, что можно, потому что обоснование можно уточнить.
Пусть $x y$ делится на идеал $\rho$, и $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho$, где $w=z^2-\sqrt[n]{4} x y$.
Тогда $w \equiv z^2 \mod \rho$, и из того, что $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho$ следует: $z^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+C_n^{n-1})=z^{n-1} 2^{n-1}$ делится на $\rho$.
Следовательно, $2^{n-1}$ делится на $\rho$.

Пусть $x y$ делится на идеал $\rho^m$, где $m$ - наибольший такой показатель.
Если $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Если $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, где $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{m_1}$.

Из (75) теперь следует:

(75.1) $2^{(n-1)^3/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1)$.

Из (75.1) следует:

(76.1) $2^{(n-1)^3/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert>$ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1) \rvert$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

В этом сообщении $t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}$ корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$, где $w=1-u$.

Покажем, что $\lvert t_k \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.
Предположим, что это не так, и для некоторого $k$: $\lvert t_k \rvert>2^n$.
Тогда $\lvert b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t_k+b_1 \rvert<\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} (\sqrt{2})^2 2^{n-1}=\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} 2^n$, и

$\lvert t_k^{(n-1)/2}+b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t+b_1 \rvert>\lvert t_k \rvert^{(n-1)/2}-\lvert t_k \rvert^{(n-3)/2} 2^n>0$.

Но $t_k^{(n-1)/2}+b_{n-2} t_k^{(n-3)/2}+...+b_3 t_k+b_1=0$.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и

(77) $\lvert t_k \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.

Из (77) следует:

(78) $\lvert b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert<\sqrt{2} \, 2^{n (n-1)/2} 2^{n-1}<2^{n (n+1)/2}$.

Из (78) следует:

(79) левая часть неравенства (76.1) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$.

Продолжение следует.

-- Сб дек 10, 2016 00:27:58 --

При переходе от $w=z^2-x y\sqrt[n]{4}$ к $w=1-u$, новые $t_k$ равны старым $t_k$, делённым на $z^2$.
Следовательно, новая левая часть неравенства (76.1) равна старой, делённой на $z^{n (n-1)/2}$.
Мы завершим обоснование доказательства, если докажем, что $z^{n (n-1)/2}>2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$ или $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Если $x$ или $y$ делится на $n$, то из соотношений Barlow ((1C) стр. 102, "Fermat's Last Theorem For Amateurs") следует, что $z>n^{2 n-1}$,
следовательно $z^n>n^{n (2 n-1)}>2^{n (2 n-1)}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $2 n^2-n>3/2 n^2-3/2 n+1$.

Если $z$ делится на $n$, то $(z-x)+(z-y)$ делится на $n$, каждое из слагаемых является $n$-ой степенью, и одно из них не меньше $3^n$ (при $n>3$). Следовательно, если $z$ делится на $n$, то $z^n \ge 3^{n^2}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $9^{n^2/2}>8^{((n-1)^2+n (n+1)/2)/3}$.
Последнее неравенство следует из того, что $n^2/2>((n-1)^2+n (n+1)/2)/3$, поскольку $3 n^2>3 n^2-3 n+2$.

Мы доказали:

(80) Если $x y z$ делится на $n$, то $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Продолжение следует.

-- Сб дек 10, 2016 04:39:46 --

Мы не рассматриваем первый случай ВТФ ($x y z$ не делится на $n$), так как его доказывает теорема Фуртвенглера.
Во втором случае ВТФ, неравенство (80) завершает обоснование нашего метода доказательста.
Поэтому наш метод доказательства доказывает ВТФ для $n=5$ и $n=7$.

[Феликс Шмидель]

Я вижу недоработку в обосновании: переход от (73) к (74) необоснован.
Обоснуем этот переход.
Пусть $i_n-1$ делится на идеал $\rho$.
Тогда все сопряжённые с $w$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$, и все сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.

Поскольку $x y z$ делится на $n$, то $v^{n-1} 2^{n-1}$ не делится на $\rho$, следовательно $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$.

Значит из (73) следует (74).

Необоснован также переход от (74) к (75), и (75) неверно.

Если $x y \sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$ и $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$, то $z^{n-1} 2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Если $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Пусть $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho$, но не делится на $\rho^m$.
Тогда $x y$ - чётное число, следовательно $z$ - нечётное, значит $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

В любом случае $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Значит из (74) следует (75.1)

Желательно написать обоснование снова с исправлением ошибок.

[Феликс Шмидель]

Изложим обоснование нашего метода ещё раз, более подробно и с исправлением ошибок.

Пусть $w=z^2-x y \sqrt[n]{4}$, $v=\sqrt{w}$, $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$.
Пусть $x y z$ делится на $n$.

Тогда

(70) $b_{n-1} w^{(n-1/2)}+b_{n-3} w^{(n-3/2)}+...+b_2 w+b_0=$ $(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) v$,

Из (70) следует:

(71) $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $w-t_k$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Если $w-t_k$ и $w_1-t_k$ имеют общий делитель (идеал), где $w_1$ - одно из сопряжённых с $w$ чисел, то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.

Тогда $\rho_1$ входит в разложение $n-1$ из $n$ сопряжённых чисел $w-t_k, w_1-t_k, ..., w_{n-1}-t_k$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих $n$ чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$.
В произведение этих $n$ чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+(n-1) m_1$.

Из этого и (71) следует:

(72) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{n-1} (b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0)$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_k)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, t_1, t_2, ..., t_{(n-1)/2}]$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$,
где $t_1, ..., t_{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Перемножая сравнения (72) для $k=1, 2, ..., (n-1)/2$ получим:

(73) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$,

в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, причём $\prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ и $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ - целые рациональные числа.

Пусть $\rho$ - какой-либо идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ (не обязательно простой), на который делится число $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$.
Тогда все сопряжённые с $w$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$, и все сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.
Для любого $k=0, 1, ..., n-1$: $b_k \equiv C_n^{n-k} v^{n-k} \mod \rho$.
Следовательно, $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1 \equiv v^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})=$ $v^{n-1} 2^{n-1} \mod \rho$.
Таким образом, имеет место:

(73.1) Если $\rho$ - какой-либо идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ (не обязательно простой), на который делится число $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1 \equiv v^{n-1} 2^{n-1} \mod \rho$.

Сравнение (73.1) остаётся верным, если в нём заменить $w$ на любое из сопряжённых с $w$ чисел.

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, на который делится число $i_n-1$.
Тогда $v^{n-1} 2^{n-1}$ не делится на $\rho$, в силу условия: $x y z$ делится на $n$.
Из этого и (73.1) следует:

(73.2) Если $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, на который делится число $i_n-1$, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$.

Сравнение (73.2) остаётся верным, если в нём заменить $w$ на любое из сопряжённых с $w$ чисел.

Из (73) и (73.2) следует:

(74) $(x y \sqrt[n]{4})^{(n-1)^2/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.

Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, делящий $x y \sqrt[n]{4}$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m$.
Пусть $m_1$ - степень, с которой $\rho$ входит в разложение числа $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ (пусть $m_1=0$, если $\rho$ не входит в разложение этого числа).
Если $\sqrt[n]{4}$ не делится на $\rho$, то $m_1=0$ поскольку $x y$ делится на $\rho$, $z$ не делится на $\rho$, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \not \equiv 0 \mod \rho$, из чего следует, что $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ не делится на $\rho$, в силу сравнения (73.1).
Пусть $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho$.
Если $m_1<m$ и $x y$ -нечётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, поскольку $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$ делится на $\rho^{m_1}$.
Если $m_1<m$ и $x y$ -чётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$, поскольку $z$ - нечётное число, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \equiv 0 \mod \rho^{m_1}$, в силу (73.1).
Значит, если $m_1<m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$.
Пусть $m_1 \ge m$.
Если $x y$ -нечётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$, поскольку $\sqrt[n]{4}$ делится на $\rho^m$.
Если $x y$ -чётное число, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$, поскольку $z$ - нечётное число, и $v^{n-1} 2^{n-1} \equiv z^{n-1} 2^{n-1} \equiv 0 \mod \rho^m$, в силу (73.1).
Значит, если $m_1 \ge m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

Мы доказали:

(74.1)
Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$, делящий $x y \sqrt[n]{4}$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m$.
Пусть $m_1$ - степень, с которой $\rho$ входит в разложение числа $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ (пусть $m_1=0$, если $\rho$ не входит в разложение этого числа).
Если $m_1<m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^{m_1}$.
Если $m_1 \ge m$, то $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.

Из (74) и (74.1) следует:

(75.1) $2^{(n-1)^3/2} \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0$ делится на $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.

В самом деле, если $m_1<m$, то $2^{(n-1)^3/2}$ делится на $\rho^{n m_1}$, поскольку $2^{n (n-1)}$ делится на $\rho^{n m_1}$.
А если $m_1 \ge m$, то $2^{(n-1)^3/2}$ делится на $\rho^{m (n-1)^2/2}$, поскольку $2^{n-1}$ делится на $\rho^m$.
Следовательно если $m_1 \ge m$, то левая часть сравнения (75.1) делится на не меньшую степень $\rho$, чем левая часть сравнения (74), которая делится на $\rho^{n m_1}$.

Из (75.1) следует:

(76.1) $2^{(n-1)^3/2} \lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1} t_k^{(n-1/2)}+b_{n-3} t_k^{(n-3/2)}+...+b_2 t_k+b_0 \rvert \ge $ $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert$.

Пусть $t_1(u), t_2(u), ..., t_{(n-1)/2}(u)$ корни многочлена $w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)$, где $w(u)=1-u$.

Из (76.1) следует:

(76.2) $2^{(n-1)^3/2} $ $\lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert \ge $ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w(u)^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)) \rvert$.

Покажем, что $\lvert t_k(u) \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.
Предположим, что это не так, и для некоторого $k$: $\lvert t_k(u) \rvert>2^n$.
Тогда $\lvert b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t_k(u)+b_1(u) \rvert<$ $\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} (\sqrt{2})^2 2^{n-1}=\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} 2^n$, и

$\lvert t_k^{(n-1)/2}(u)+b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t(u)+b_1(u) \rvert>$ $\lvert t_k(u) \rvert^{(n-1)/2}-\lvert t_k(u) \rvert^{(n-3)/2} 2^n>0$.

Но $t_k^{(n-1)/2}(u)+b_{n-2}(u) t_k^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) t_k(u)+b_1(u)=0$.
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и

(77) $\lvert t_k(u) \rvert \le 2^n$, для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$.

Из (77) следует:

(78) $\lvert b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert<$ $\sqrt{2} \, 2^{n (n-1)/2} 2^{n-1}<2^{n (n+1)/2}$.

Из (78) следует:

(79) левая часть неравенства (76.2) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$.

Для любого $k=1, 2, ..., (n-1)/2$: $t_k(u)=t_k/z^2$.
Следовательно, левая часть неравенства (76.2) равна левой части неравенства (76.1), делённой на $z^{n (n-1)/2}$.
Осталось показать, что $z^{n (n-1)/2}>2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}$ или $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Если $x$ или $y$ делится на $n$, то из соотношений Barlow ((1C) стр. 102, "Fermat's Last Theorem For Amateurs") следует, что $z>n^{2 n-1}$,
следовательно $z^n>n^{n (2 n-1)}>2^{n (2 n-1)}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $2 n^2-n>3/2 n^2-3/2 n+1$.

Если $z$ делится на $n$, то $(z-x)+(z-y)$ делится на $n$, каждое из слагаемых является $n$-ой степенью, и одно из них не меньше $3^n$ (при $n>3$). Следовательно, если $z$ делится на $n$, то $z^n \ge 3^{n^2}>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, так как $9^{n^2/2}>8^{((n-1)^2+n (n+1)/2)/3}$.
Последнее неравенство следует из того, что $n^2/2>((n-1)^2+n (n+1)/2)/3$, поскольку $3 n^2>3 n^2-3 n+2$.

Если $z$ делится на $n$, где $n=3$, то $z>9$, что проверяется перебором всех вариантов равенства Ферма при $z \le 9$, следовательно $z \ge 12$,
следовательно $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$, поскольку $12^3>2^{10}$.

Мы доказали:

(80) Если $x y z$ делится на $n$, то $z^n>2^{(n-1)^2+n (n+1)/2}$.

Мы не рассматриваем первый случай ВТФ ($x y z$ не делится на $n$), так как его доказывает теорема Фуртвенглера.
Во втором случае ВТФ, неравенство (80) завершает обоснование нашего метода доказательста.
Поэтому наш метод доказательства доказывает ВТФ для $n=3, n=5$ и $n=7$.

[Феликс Шмидель]

Исправим неточность, неравенство (76.2) имеет вид:

(76.2) $2^{(n-1)^3/2} $ $\lvert \prod_{k=1}^{(n-1)/2} b_{n-1}(u) t_k^{(n-1/2)}(u)+b_{n-3}(u) t_k^{(n-3/2)}(u)+...+b_2(u) t_k(u)+b_0(u) \rvert/z^{n (n-1)/2} \ge $ $\lvert N(w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2}(u) w(u)^{(n-3)/2}(u)+...+b_3(u) w(u)+b_1(u)) \rvert$.

(79) левая часть неравенства (76.2) меньше $2^{(n-1)^3/2+(n-1) n (n+1)/4}/z^{n (n-1)/2}$.

[Феликс Шмидель]

Теперь мы можем открыть новую тему и изложить итоговое доказательство ВТФ для $n=3, n=5, n=7$.

[Феликс Шмидель]

Я увидел ещё одну ошибку: если $x y \sqrt[n]{4}$ делится на простой идеал $\rho$, то не обязательно сопряжённые с $v$ числа сравнимы между собой по модулю $\rho$.
Снова возникает вопрос: можно ли спасти доказательство?
Думаю, что можно, потому что меньшие значения чем $2^{n-1}$ в (74.1) не меняют неравенства (76.1).
Пока я не разберусь в этом вопросе, я не продолжу новую тему.

[Феликс Шмидель]

Мы знаем, что если $x y$ делится на $\rho^m$, где $\rho$ - простой идеал, то часть сопряжённых с $v$ чисел сравнима с $z$, а часть с $-z$ по модулю $\rho^m$.
Я проверил, что если есть минусы и плюсы, то $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$.
Это проверяет следующий код:

   10   print "please enter n";
   20   input N
   30   print "please enter number of -1";
   40   input Nm
   42   dim B(N),O(N)
   44   for I=0 to N-1
   46   O(I)=1:if I<Nm then O(I)=-1
   48   next I
   50   for K=1 to N
   60   Combination$=""
   70   for I=1 to K
   80   Combination$=Combination$+chr(I)
   90   next I
  100   B(K)=0
  110   while Combination$<>""
  120   B(K)=B(K)+fnBkComb(Combination$)
  130   Combination$=fnNextComb(Combination$)
  140   wend
  150   next K
  160   Sum=1
  170   for K=2 to N-1 step 2
  180   Sum=Sum+B(K)
  190   next K
  200   print Sum
  210   Sum=0
  220   for K=1 to N step 2
  230   Sum=Sum+B(K)
  240   next K
  250   print Sum
  260   end
 4350   fnNextComb(C$)
 4360   local Indexdo,Ch,I9,B$
 4370   Indexdo=len(C$)
 4380   ' find suitable index Indexdo
 4390   loop
 4400   Ch=asc(mid(C$,Indexdo,1))
 4410   if Ch+1+(len(C$)-Indexdo)<=N goto 4450
 4420   Indexdo=Indexdo-1
 4430   if Indexdo=0 goto 4450
 4440   endloop
 4450   if Indexdo=0 then return("")
 4460   B$=""
 4470   for I9=0 to len(C$)-Indexdo
 4480   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
 4490   next I9
 4500   return(left(C$,Indexdo-1)+B$)
 4510   ' ===================================
 4610   fnBkComb(C$)
 4620   local I9,Ch,Product
 4630   Product=1
 4640   for I9=1 to len(C$)
 4650   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
 4660   Product=Product*O(Ch-1)
 4670   next I9
 4680   return(Product)

Код выдаёт нули, если количество $-1$ не равно нулю, и $2^{n-1}$, если количество $-1$ не равно нулю (это мы знали).
Значит $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^m$.
Это не проблема, потому что множитель $(x y \sqrt[n]{4})^n$ допустим.
Вопрос в том, может ли $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{m+1}$ или даже на $\rho^{m (n-1)/2}$?
я продолжаю над этим думать.

[Феликс Шмидель]

Ответ на предыдущий вопрос: да может.
Если при $n=5$, $\rho$ соответствует двум или трём минусам, то $t_1-t_2$, $w-t_1$ и $w-t_2$ делятся на $\rho^m$.
Значит $w^2+b_3 w+b_1$ делится на $\rho^{2 m}$.
Получается, что мы допустили ошибку уже для $n=5$.

[Феликс Шмидель]

Итак, при $n=5$, если простой идеал $\rho$, входит в разложение числа $x y \sqrt[n]$ cо степенью $m$, и $\rho$ соответствует двум минусам (то есть, например, $v \equiv z, v(i_n) \equiv -z, v(i_n^2) \equiv -z, v(i_n^3) \equiv z, v(i_n^4) \equiv z \mod \rho^m$), то $w-t_1$ делится на $\rho^m$ (где $t_1$ - корень многочлена $w^2+b_3 w+...+b_1$).
Можно ли утверждать, что $w-t_1$ не делится на $\rho^{m+1}$?

Имеем: $v \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} \mod \rho^{m+1}$, в чём легко убедится путём возведения этого сравнения в квадрат.
Также $v(i_n) \equiv -z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^2, v(i_n^2) \equiv -z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^4, v(i_n^3) \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^6,$ $v(i_n^4) \equiv z-\frac{1}{2 z} x y \sqrt[n]{4} i_n^8 \mod \rho^{m+1}$, где $v(i_n^j)=\sqrt{z^2-x y \sqrt[n] {4} i_n^{2 j}}$ для $j=1, 2, 3, 4$.

С помощью этих формул, вопрос может быть решён, я буду этим заниматься.