Исправим ещё одну неточность.
Я написал: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) верно".
Должно быть: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) невозможно".
Мы обосновали неравенство (19), но наше рассуждение содержало изъян.
Обоснуем это неравенство другим способом, разложив многочлен

на множители

, где

- его корни.
Эти корни могут быть действительные или комплексные, нам это не важно.
Будем работать с полем
![$\mathbb{Q}[t_1, \sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[t_1, \sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/b/f7bd5e1eb1432fb667e2aa0098a8cc3682.png)
.
В этом поле (точнее в его кольце целых алгебраических чисел) выполняются следующие утверждения:
(20)

делится на

и
(30)

делится на

.
Эти утверждения следуют из (14).
Из (20) следует:
(21)

делится на

.
Из (21) следует:
(22)
![$(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4))$ $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/2/f4230099fac46e4496deda60251ae33082.png)
делится на
![$N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)$ $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0ea43f7d9c3bf002e34bbf817914ea1482.png)
,
где
![$N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)=(w-t_1) (w_1-t_1)(w_2-t_1)(w_3-t_1)(w_4-t_1)$ $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)=(w-t_1) (w_1-t_1)(w_2-t_1)(w_3-t_1)(w_4-t_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/c/1ac61b696df351afa23651dac991e2fa82.png)
,

- сопряжённые числа.
Здесь уже не возникает трудностей с обоснованием, поскольку если

и

имеют общий делитель (идеал), то
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
делится на этот идеал.
Пусть

- какой-либо простой идеал, делящий
![$x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c4fcbfd668bc3a115329521beeaa9d82.png)
и входящий в разложение этого числа со степенью

.
Тогда

входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел

со степенью не больше

, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем,

, которая не больше чем в разложении числа

.
В произведение 5-ти чисел, идеал

входит со степенью не больше

.
Из этого следует (22).
Из (30) следует:
(31)

делится на

.
Из (31) следует:
(32)
![$(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4))$ $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/d/bad6343e19ffc0c69c24c8644f01c09e82.png)
делится на
![$N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)$ $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/8/1f818b61bfb95b211c39357927c12bc582.png)
,
где
![$N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)=(w-t_2) (w_1-t_2)(w_2-t_2)(w_3-t_2)(w_4-t_2)$ $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)=(w-t_2) (w_1-t_2)(w_2-t_2)(w_3-t_2)(w_4-t_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/4/c0460ab611265b2bd9ff97a56f60f70482.png)
,

- сопряжённые числа.
Умножая сравнения (22) и (32) получим:
(33)
![$(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^8 ((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$ $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^8 ((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/a/bda1f3083619d6d177196f9b2c220fe982.png)
делится на

Неравенство (19) следует из утверждения (33).
Получается из него следует даже более сильное неравенство, но нам оказалось достаточно и это.
Таким образом, мы, возможно, доказали ВТФ для

.
Проверяем.