2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение03.11.2016, 10:19 


31/03/06
1384
Из (17) следует:

(18) $(b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \ge N(w^2+b_3 w+b_1)$

Я ещё не придумал, что делать дальше.
Приведём пока вычисление коэффициентов $b_4, b_3, b_2, b_1, b_0$ в программе "Reduce".

Код:
load_package polydiv;
v0:=a0+a1*g+a2*g^2+a3*g^3+a4*g^4;
v1:=a0+a1*g*i5+a2*g^2*i5^2+a3*g^3*i5^3+a4*g^4*i5^4;
v2:=a0+a1*g*i5^2+a2*g^2*i5^4+a3*g^3*i5^6+a4*g^4*i5^8;
v3:=a0+a1*g*i5^3+a2*g^2*i5^6+a3*g^3*i5^9+a4*g^4*i5^12;
v4:=a0+a1*g*i5^4+a2*g^2*i5^8+a3*g^3*i5^12+a4*g^4*i5^16;

s1:=v0+v1+v2+v3+v4;
s1:=(s1 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s2:=v0^2+v1^2+v2^2+v3^2+v4^2;
s2:=(s2 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s3:=v0^3+v1^3+v2^3+v3^3+v4^3;
s3:=(s3 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s4:=v0^4+v1^4+v2^4+v3^4+v4^4;
s4:=(s4 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s5:=v0^5+v1^5+v2^5+v3^5+v4^5;
s5:=(s5 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

e0:=1;
e1:=s1;
e2:=(e1*s1-s2)/2;
e2:=(e2 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e3:=(e2*s1-e1*s2+s3)/3;
e3:=(e3 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e4:=(e3*s1-e2*s2+e1*s3-s4)/4;
e4:=(e4 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e5:=(e4*s1-e3*s2+e2*s3-e1*s4+s5)/5;
e5:=(e5 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

b4:=e1;
b3:=e2;
b2:=e3;
b1:=e4;
b0:=e5;


Сравнивая с результатом, полученным ранее, я увидел опечатку, должно быть:

$b_2=10 (a_0^3-3 a_0 a_1 a_4-3 a_0 a_2 a_3+a_1^2 a_3+a_1 a_2^2+2 a_2 a_4^2+2 a_3^2 a_4)$.

Приведём значения $b_1$ и $b_0$.

$b_1=5 (a_0^4-6 a_0^2 a_1 a_4-6 a_0^2 a_2 a_3+4 a_0 a_1^2 a_3+4 a_0 a_1 a_2^2+8 a_0 a_2 a_4^2+8 a_0 a_3^2 a_4-2 a_3^2 a_2+4 a_1^2 a_4^2-4 a_1 a_2 a_3 a_4-4 a_1 a_3^3-4 a_2^3 a_4+4 a_2^2 a_3^2-8 a_3 a_4^3)$

$b_0=a_0^5-10 a_0^3 a_1 a_4-10 a_0^3 a_2 a_3+10 a_0^2 a_1^2 a_3+10 a_0^2 a_1 a_2^2+20 a_0^2 a_2 a_4^2+20 a_0^2 a_3^2 a_4-10 a_0 a_1^3 a_2+20 a_0 a_1^2 a_4^2-20 a_0 a_1 a_2 a_3 a_4-20 a_0 a_1 a_3^3-20 a_0 a_2^3 a_4+20 a_0 a_2^2 a_3^2-40 a_0 a_3 a_4^3+2 a_1^5-20 a_1^3 a_3 a_4+20 a_1^2 a_2^2 a_4+20 a_1^2 a_2 a_3^2-20 a_1 a_2^3 a_3-40 a_1 a_2 a_4^3+40 a_1 a_3^2 a_4^2+4 a_2^5+40 a_2^2 a_3 a_4^2-40 a_2 a_3^3 a_4+8 a_3^5+16 a_4^5$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение03.11.2016, 15:01 


31/03/06
1384
Исправим (18), должно быть:

(18) $\lvert (b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \rvert \ge \lvert N(w^2+b_3 w+b_1) \rvert$

Вычислим теперь $N(w^2+b_3 w+b_1)$ в программе "Sage" (в программе "Reduce" не получилось).

Код:
z, x, y, g, i5, b3, b1=var('z, x, y, g, i5, b3, b1');
w0=z^2-x*y*g^2;
w1=z^2-x*y*g^2*i5^2;
w2=z^2-x*y*g^2*i5^4;
w3=z^2-x*y*g^2*i5^6;
w4=z^2-x*y*g^2*i5^8;
N0=(w0^2+b3*w0+b1)*(w1^2+b3*w1+b1)*(w2^2+b3*w2+b1)*(w3^2+b3*w3+b1)*(w4^2+b3*w4+b1); N0;
N1,R=N0.maxima_methods().divide(g^5-2); R
N2, R1=R.maxima_methods().divide(i5^4+i5^3+i5^2+i5+1); R1;


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение03.11.2016, 20:02 


31/03/06
1384
Выразим теперь $N(w^2+b_3 w+b_1)$ через коэффициенты $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$.

Код:
a0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a3^2*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение04.11.2016, 13:48 


31/03/06
1384
Исправим опечатку, должно быть:

$b_1=5 (a_0^4-6 a_0^2 a_1 a_4-6 a_0^2 a_2 a_3+4 a_0 a_1^2 a_3+4 a_0 a_1 a_2^2+8 a_0 a_2 a_4^2+8 a_0 a_3^2 a_4-2 a_1^3 a_2+4 a_1^2 a_4^2-4 a_1 a_2 a_3 a_4-4 a_1 a_3^3-4 a_2^3 a_4+4 a_2^2 a_3^2-8 a_3 a_4^3)$

В соответствии с этим исправим код предыдущего сообщения:

Код:
0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a1^3*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение04.11.2016, 19:32 


31/03/06
1384
Исправим ещё раз (должно начинаться с a0):

Код:
a0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a1^3*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение05.11.2016, 01:06 


31/03/06
1384
Если подставить $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$ вместо $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ в $R_1$, должно получиться число, равное нулю с большой степенью точности, иначе неравенство (18) невозможно.

Вычислим коэффициенты $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$ для 999 значений числа $\sqrt{1-U}$, где $U$ меняется от 0 до 1.

Вычислим также $b_3, b_1, R_1$.

Код:
10   for I=1 to 999
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150 B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1-R2,
1000   next I


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение05.11.2016, 02:26 


31/03/06
1384
Эта программа на "Ubasic" даёт большие положительные числа, и вовсе не ноль, что показывает невозможность неравенства (18).

Для завершения доказательства ВТФ для $n=5$, осталось рассмотреть ещё случай, когда $x y$ имеет с $w^2+b_3 w+b_1$ общие делители.

Нужно также проверить нет ли ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение06.11.2016, 13:55 


31/03/06
1384
Общий делитель числа $w^2+b_3 w+b_1$ и сопряжённых с ним обязательно делит $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$.
Это не следует сразу из (15), потому что числа $b_0-b_1 b_4$ и $b_2-b_3 b_4$ могут делиться на этот общий делитель.
Но $(w^2+b_3 w+b_1)-(w_1^2+b_3 w_1+b_1)=(w-w_1) (w+w_1+b_3)$, и $(w^2+b_3 w+b_1)-(w_2^2+b_3 w_2+b_1)=(w-w_2) (w+w_2+b_3)$, где $w_1, w_2$ - сопряжённые с $w$ числа.
Если числа $w^2+b_3 w+b_1,  w_1^2+b_3 w_1+b_1, w_2^2+b_3 w_2+b_1$ делятся на общий делитель (идеал) $I$, не имеющий с $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$ общих делителей, то числа $w+w_1+b_3, w+w_2+b_3$ делятся на $I$, из чего следует, что $w_1-w_2$ делится на $I$, но это возможно только если $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$ делится на $I$.

Покажем в оффтопике, что $x y$ и $w^2+b_3 w+b_1$ могут иметь общие делители.

(Оффтоп)

Предположим, что $x y$ делится на простой идеал $\rho$ поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$.
Число $v$ и сопряжённые с ним сравнимы с $z$ или с $-z$, и количество минусов может быть: $0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Вычислим с чем сравнимы коэффициенты $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ по модулю идеала $\rho$ в каждом из этих случаев.
Сделаем это, представляя эти коэффициенты элементарными симметрическими многочленами.

Случай $0$ минусов: $b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv 5 z^4, b_2 \equiv 10 z^3, b_3 \equiv 10  z^2, b_4 \equiv 5 z \mod \rho$.
Случай $1$ минус: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv -3 z^4, b_2 \equiv -2 z^3, b_3 \equiv 2  z^2, b_4 \equiv 3 z \mod \rho$.
Случай $2$ минуса: [mat-h]$b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv z^4, b_2 \equiv -2 z^3, b_3 \equiv -2  z^2, b_4 \equiv z \mod \rho$[/math].
Случай $3$ минуса: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv z^4, b_2 \equiv 2 z^3, b_3 \equiv -2  z^2, b_4 \equiv -z \mod \rho$.
Случай $4$ минуса: $b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv -3 z^4, b_2 \equiv 2 z^3, b_3 \equiv 2  z^2, b_4 \equiv -3 z \mod \rho$.
Случай $5$ минусов: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv 5 z^4, b_2 \equiv -10 z^3, b_3 \equiv 10 z^2, b_4 \equiv -5 z \mod \rho$.

Случай $0$ минусов: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 16 z^4, b_0-b_1 b_4 \equiv -24 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv  -40  z^3 \mod \rho$.
Случай $1$ минус: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 8 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv  -8  z^3 \mod \rho$.
Случай $2$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 0, b_2-b_3 b_4 \equiv  0 \mod \rho$.
Случай $3$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 0, b_2-b_3 b_4 \equiv  0 \mod \rho$.
Случай $4$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv -8 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv  8  z^3 \mod \rho$.
Случай $5$ минусов: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 16 z^4, b_0-b_1 b_4 \equiv 24 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv  40  z^3 \mod \rho$.

Мы видим, что в случаях $1, 2, 3, 4$ минусов, $x y$ и $w^2+b_3 w+b_1$ делятся на $\rho$.
Что и требовалось.


Таким образом, невозможность неравенства (18) не доказывает ВТФ для $n=5$.

Можно попробовать доказать невозможность неравенства:

(19) $z^{10} \lvert (b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \rvert \ge \lvert N(w^2+b_3 w+b_1) \rvert$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение06.11.2016, 16:19 


31/03/06
1384
Я увидел ошибку в коде, которая не влияет отрицательно на результат.
Мне пришлось разделить выражение $R_1$ на 2 части, поскольку оно не умещалось на одной строке в "Ubasic".
Я сделал это неправильно.
Исправим эту ошибку.

Код:
10   for I=1 to 999
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150 B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
1000   next I


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение06.11.2016, 17:30 


31/03/06
1384
Приведём код для проверки неравенства (19).

Код:
10   for I=1 to 1000
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
  210   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  220   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  230   B0=B00+B01
  240   B4=B4=5*A0
  250   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  260   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  270   print L1
1000   next I


Исполнение программы показывает, что неравенство (19) верно.
Проверяем нет ли ошибок и доказывает ли это ВТФ для $n=5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение07.11.2016, 01:42 


31/03/06
1384
Объясняю, почему в программе на строке 260 нет множителя $z^{10}$.
Мы показали что правая часть без этого множителя меньше левой части, при условии, что вместо коэффициентов $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ подставлены значения $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$. При умножении этого неравенства на $z^{20}$ значения коэффициентов восстанавливаются, и в левой части появляется множитель $z^{10}$.

Я увидел изъян в другом.
Его содержит рассуждение, показывающее, что общий делитель числа $w^2+b_3 w+b_1$ и сопряжённых с ним обязательно делит $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$.
Числа $w^2+b_3 w+b_1$ и $w_1^2+b_3 w_1+b_1$ могут делиться на идеал $I_1$, а $w^2+b_3 w+b_1$ и $w_2^2+b_3 w_2+b_1$ на идеал $I_2$, не имеющий с $I_1$ общих множителей.
Так что, пока я сомневаюсь, что невозможность неравенства (19) доказывает ВТФ для $n=5$.
Я продолжаю над этим думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение07.11.2016, 07:27 


31/03/06
1384
Исправим неточность в последнем сообщении, должно быть:

Мы показали, что левая часть неравенства (19) без этого множителя меньше правой части, при условии, что вместо коэффициентов $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ подставлены значения $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$. При умножении этого неравенства на $z^{20}$ значения коэффициентов восстанавливаются, и в левой части появляется множитель $z^{10}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение07.11.2016, 23:00 


31/03/06
1384
Исправим неточность в коде на строке 240.
Она изменила результат, но не изменила его принципиально.

Код:
10   for I=1 to 1000
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
  210   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  220   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  230   B0=B00+B01
  240   B4=5*A0
  250   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  260   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  270   print L1
1000   next I

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение08.11.2016, 06:37 


31/03/06
1384
Исправим ещё одну неточность.
Я написал: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) верно".
Должно быть: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) невозможно".

Мы обосновали неравенство (19), но наше рассуждение содержало изъян.
Обоснуем это неравенство другим способом, разложив многочлен $w^2+b_3 w+b_1$ на множители $(w-t_1)(w-t_2)$, где $t_1, t_2$ - его корни.
Эти корни могут быть действительные или комплексные, нам это не важно.
Будем работать с полем $\mathbb{Q}[t_1, \sqrt[n]{2}]$.
В этом поле (точнее в его кольце целых алгебраических чисел) выполняются следующие утверждения:

(20) $(b_2-b_3 b_4) w+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_1$ и

(30) $(b_2-b_3 b_4) w+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_2$.

Эти утверждения следуют из (14).

Из (20) следует:

(21) $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_1$.

Из (21) следует:

(22) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4))$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)$,

где $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)=(w-t_1) (w_1-t_1)(w_2-t_1)(w_3-t_1)(w_4-t_1)$, $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ - сопряжённые числа.

Здесь уже не возникает трудностей с обоснованием, поскольку если $w-t_1$ и $w_1-t_1$ имеют общий делитель (идеал), то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.
Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$.
В произведение 5-ти чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+4 m_1$.
Из этого следует (22).

Из (30) следует:

(31) $(b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_2$.

Из (31) следует:

(32) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4))$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)$,

где $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)=(w-t_2) (w_1-t_2)(w_2-t_2)(w_3-t_2)(w_4-t_2)$, $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ - сопряжённые числа.

Умножая сравнения (22) и (32) получим:

(33) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^8 ((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$ делится на $N(w^2+b_3 w+b_1)$

Неравенство (19) следует из утверждения (33).
Получается из него следует даже более сильное неравенство, но нам оказалось достаточно и это.

Таким образом, мы, возможно, доказали ВТФ для $n=5$.
Проверяем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение08.11.2016, 16:10 


31/03/06
1384
Исправим неточность.
Я написал:
"Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$."

Должно быть:
"Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w-t_1, w_1-t_1, w_2-t_1, w_3-t_1, w_4-t_1$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$."

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group