Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.

[Феликс Шмидель]

Доказательство можно существенно упростить, используя утверждение (33).
Достаточно показать, что $N(w^2+b_3 w+b_1)$ не равно нулю при подстановке $a_0/z, ..., a_4/z$, и не надо исполнять никакого кода.
А это неравенство нулю очевидно.
Тем же методом можно доказать ВТФ для всех нечётных простых $n<100$, и вообще для любого простого $n$, для которого имеет место равенство (1).
Вместо числа $((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$, в левой части утверждения (33), которое мы получили при $n=5$, при других $n$ будет результант двух многочленов, что не меняет сути.

Проверяем.

[Феликс Шмидель]

Конечно, последнее сообщение это не доказательство, а только план доказательства.
Нужно оценить минимальное значение абсолютной величины $N(w^2+b_3 w+b_1)$ и показать, что $z$ больше этой величины.
Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом, и если его будут проверять.

[ananova]

Надеюсь увидеть окончательное доказательство новым методом для степени 3. Думаю, его будет легче проверить. Ведь это новый метод доказательства ВТФ? Если для степени 3 есть оговорки, то решайте сами как быть.

[Antoshka]

Феликс Шмидель в сообщении #1167654 писал(а):

Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом

Мне интересно увидеть доказательство, так что пишите

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #1167654 писал(а):

Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом, и если его будут проверять.

Я просил бы выложить итоговое доказательство даже в том случае, если пересечение участников, способных его проверить, с желающими будет пусто :) За темой следят многие.

[Феликс Шмидель]

(Оффтоп)

Напишу, если успею. Я серьёзно болен.

[Феликс Шмидель]

Насчёт очевидности я не прав.
Я не знаю, как доказать, что $N(w^2+b_3 w+b_1)$ не равно нулю или как оценить это число.
Для $n=5$ код даёт такую оценку, и на основании этого можно пытаться доказывать.
Оставим пока это так как есть.

[Феликс Шмидель]

Я решил продолжить тему, пока у меня есть такая возможность.
Для любого нечётного простого $n$, для которого выполняется равенство (1) мы можем написать код для проверки ВТФ, подобно тому как мы сделали это для $n=5$.
Мне бы хотелось иметь доказательство, а не просто демонстрацию исполнением кода, и, желательно, сразу для всех таких $n$.

Пусть $v^n+b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v+b_0=0$.
Для доказательства ВТФ, нужно оценить $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.
У меня появилась идея вычислить производную выражения $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ по $u$ и приравнять её нулю.
Что делать потом, я пока не знаю, но как вычислить производную, кажется, знаю.
Займёмся этим, а потом будем думать.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Нам удобнее работать с равенством:

(35) $v^n+c_{n-1} v^{n-1}+...+c_1 v+c_0=0$

Дело в том, что ранее мы работали с равенством: $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$

Продифференцируем равенство (35) по $u$, где $v=\sqrt{1-u}$:

(36) $(n v^{n-1} \frac{-1}{2 v}+c_{n-1} (n-1) v^{n-2} \frac{-1}{2 v}+...+c_1 \frac{-1}{2 v}) + (c'_{n-1} v^{n-1}+c'_{n-2} v^{n-2}-...+c'_1 v+c'_0)=0$

Из (36) следует:

(37) $-2 c'_{n-1} v^n+(n-2 c'_{n-2}) v^{n-1}+((n-1) c_{n-1}-2 c'_{n-3}) v^{n-2}+((n-2) c_{n-2}-2 c'_{n-4}) v^{n-3}+...+(2 c_2-2 c'_0) v+c_1=0$

Из (37) и (35) следует:

(38) $-2 c'_{n-1} c_0=c_1, -2 c'_{n-1} c_1=2 c_2-2 c'_0, -2 c'_{n-1} c_2=3 c_3-2 c'_1, ..., -2 c'_{n-1} c_{n-1}=n-2 c'_{n-2}$

Из (38) следует:

(39) $-2 c'_{n-1}=c_1/c_0, 2 c'_0=2 c_2-c_1^2/c_0, 2 c'_1=3 c_3-c_2 c_1/c_0, ..., 2 c'_{n-2}=n-c_{n-1} c_1/c_0$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Нам нужно оценить производные коэффициентов $b_1, b_3, ..., b_{n-2}$.
Это позволит применить формулу Лагранжа: $f(u_1)-f(u_2)=f'(c) (u_1-u_2)$, где $c$ - промежуточное значение.
Из предыдущего сообщения ясно, что для оценки производных нужно оценить сами коэффициенты $b_1, b_3, ..., b_{n-2}$.
Абсолютная величина $v$ и сопряжённых с $v$ чисел не больше $\sqrt{2}$.
Следовательно, абсолютная величина $b_k$ не больше $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Вычислим $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ при $u=0$.

$b_{n-2}=C_n^2, b_{n-4}=C_n^4, ..., b_3=C_n^{n-3}, b_1=C_n^{n-1}$.

$w=1$, также сопряжённые с $w$ числа равны $1$.

Значит $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)=(1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})^n=2^{n (n-1)}$.

Проверка с тем, что даёт нам код для $n=5$ показывает совпадение (1048576).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Оценим $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ для произвольного $u$.

Поскольку $w_0=w=1-u, w_1=1-u i_n, w_2=1-u i_n^2, ..., w_{n-1}=1-u i_n^{n-1}$, то $\lvert w_j \rvert \le 2, \lvert w'_j \rvert=1$, для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$.
Поскольку $\lvert b_k \rvert \le C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k}$, для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$, то:

$\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert$ $\le 2^{(n-1)/2}+C_n^2 \sqrt{2}^2 2^{(n-3)/2}+...C_n^{n-3} \sqrt{2}^{n-3} 2+C_n^{n-1} \sqrt{2}^{n-1}$, следовательно:

(40) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert$ $\le \sqrt{2}^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})=\sqrt{2}^{n-1} 2^{n-1}$, для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$.

Из (40) следует:

(41) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{(3/2) n (n-1)}$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Заметим, что неравенство (41) имеет место также для любого комплексного $u$ на окружности $\lvert u \rvert=1$.
Это на тот случай, если мы решим воспользоваться интегральной формулой Коши.

[Феликс Шмидель]

Напишем, на всякий случай, точную формулу для $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ при произвольном действительном $u$.
Пусть $e_1, ..., e^{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Тогда

(42) $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)=$ $((1-e_1)^n-u^n)...((1-e_{(n-1)/2})^n-u^n)$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Мы видели, что на самом деле $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{n (n-1)}$, но доказать это пока не можем.

Оценку (41) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{(3/2) n (n-1)}$) можно улучшить.
Из $n$ сопряжённых c $w$ чисел, треть не больше $1$ по абсолютной величине.
Чтобы показать это, вычислим $\lvert 1-u i_n^j \rvert=\sqrt{(1-u \cos(j 2 \pi/n))^2+(u \sin(j 2 \pi/n))^2}=\sqrt{1+u^2-2 u \cos(j 2 \pi/n)}$.
Следовательно:

(43) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert$ $\le 2^{n (n-1)/3} 2^{(3/2) n (n-1) (2/3)}=2^{(4/3) n (n-1)}$.

Продолжение следует.