Математика и геометрия

[Xaositect]

matemat в сообщении #1170295 писал(а):

Вроде бы современная геометрия имеет мало пересечений со школьной геометрией. Взять те же дифгеометрию, топологию, теорию гомологий и гомотопий. Действительно, имея хороший фундамент по школьной геометрии в этих науках далеко не уедешь. Может быть даже школьная геометрия тут вообще не причем и бесполезна. Не знаю.

Из школьной математики только геометрия дает хоть какое-то представление о доказательстве. В алгебре они в учебниках еще есть (доказательства формул решения квадратного уравнения, теоремы Виета, формул тригонометрии), но фактически их учителя мало где объясняют.
Я, впрочем, тоже никогда не видел человека, который разбирается в школьной геометрии, да еще и на олимпиадном уровне, но не может освоить школьную алгебру. Если такое бывает, то это уникальное явление.

[matemat]

Xaositect в сообщении #1170300 писал(а):

Я, впрочем, тоже никогда не видел человека, который разбирается в школьной геометрии, да еще и на олимпиадном уровне, но не может освоить школьную алгебру.

Ученик вполне удачно решает задачи по геометрии. Но не может решить в 9-м классе задачи вида упростить многочлен, на составление системы уравнений, то есть не может составить правильно саму систему, не понимает как это сделать. Например, из пункта А в пункт Б выехал велосипедист, а через некоторое время навстречу ему из Б выехал другой ...
Как такое явление можно объяснить?

[Metford]

matemat в сообщении #1170306 писал(а):

на составление системы уравнений, то есть не может составить правильно саму систему

Вот конкретно это можно объяснить, отвлекаясь от предыдущего, только двумя вещами: проблемы с логикой или нежелание вникать в суть задачи. Умение решать геометрические задачи заставляет отказаться от первого варианта. Так что...
Ну, в самом деле, не предполагать же, что ученик девятого класса не привык обозначать неизвестные из условия величины буквами и, оперируя ими, составлять уравнения!
Что касается проблем с алгебраическими преобразованиями, то тут руку нужно набивать. Долго и методично. Вероятно, в какой-то момент это было упущено.

[Pphantom]

Metford в сообщении #1170310 писал(а):

Ну, в самом деле, не предполагать же, что ученик девятого класса не привык обозначать неизвестные из условия величины буквами и, оперируя ими, составлять уравнения!

Почему бы и нет? Всякое бывает.

Кстати, тут есть два простеньких "посторонних" фактора, которые можно использовать как тесты. Как у того же ученика обстоят дела с успеваемостью по физике и по химии?

[Metford]

Pphantom в сообщении #1170311 писал(а):

Почему бы и нет? Всякое бывает.

Да, бывает всякое, но, помнится мне, в геометрии тоже встречаются задачи, в которых приходится обозначить что-нибудь за $x$, что-нибудь за $y$ и т.д. - и решать...

Вопрос о физике и химии поддерживаю.

[Xaositect]

matemat в сообщении #1170306 писал(а):

Как такое явление можно объяснить?

Как объяснить, я не знаю, это надо людей с педагогическим образованием спрашивать. Возможно, ему это просто в свое время не объяснили. Как он сам объясняет свои затруднения? Знает ли он простейшие алгебраические преобразования (раскрытие скобок, формулы сокращенного умножения, свойства степени)? Понимает ли он, что в этих преобразованиях можно заменять буквы на произвольные выражения? Понимает ли он, что в задаче на упрощение многочлена нужно применять эти преобразования? Может ли он определить, какие преобразования применимы к заданному в условии выражению?
Решает ли студент задачу, сформулированную на геометрическом языке, требующую аналогичных действий? Ну например, если просто нарисовать графики движения, стереть оси координат, и попросить найти то, что нужно. Попробуйте использовать его геометрическую интуицию, чтобы объяснить ему, как решать задачи на движение.

[matemat]

Pphantom в сообщении #1170311 писал(а):

Metford в сообщении #1170310 писал(а):

Кстати, тут есть два простеньких "посторонних" фактора, которые можно использовать как тесты. Как у того же ученика обстоят дела с успеваемостью по физике и по химии?

Интересно! Даже и не знал о таком тесте.
Действительно, по физике все в порядке, учится на 4 и 5, а вот по химии большой провал, успеваемость как и по математике. И что же это значит?

[Xaositect]

matemat в сообщении #1170315 писал(а):

Действительно, по физике все в порядке, учится на 4 и 5, а вот по химии большой провал, успеваемость как и по математике. И что же это значит?

Как-то все чудесатее и чудесатее. Отличнные оценки по физике, но при этом не умеет решать задачи на движение?

[Pphantom]

matemat в сообщении #1170315 писал(а):

Действительно, по физике все в порядке, учится на 4 и 5, а вот по химии большой провал, успеваемость как и по математике. И что же это значит?

Стало быть, простые алгебраические задачи решать умеет, иначе такой результат по физике был бы нереален. Школьная химия в этом смысле более абстрактна (хотя соответствующая математика сводится к пропорциям). Остаются два варианта: либо уже обсуждавшиеся проблемы с абстрактным мышлением (или полное нежелание таковым пользоваться), либо... банальное неумение считать. Учителя химии к этому, как правило, относятся куда более трепетно, чем учителя физики, ситуацию с алгеброй/геометрией это тоже в целом объясняет.

[Mikhail_K]

matemat в сообщении #1170165 писал(а):

Может ли человек c такой успеваемостью стать математиком?

А хочет ли он стать математиком? (Потому что если не хочет, то вопрос довольно бессмысленный.)
Учитывая, что высшая математика, которую ему придётся при этом изучать, по виду больше похожа на школьную алгебру, чем на школьную геометрию?
А вот прямых аналогов элементарной геометрии в высшей математике пожалуй что и нет.

-- 20.11.2016, 19:29 --

matemat в сообщении #1170165 писал(а):

Может ли человек c такой успеваемостью стать математиком?

Ну и ответ на этот вопрос - может, если подтянет свою успеваемость по алгебре до уровня 4-5.
Чтобы стать математиком, придётся преодолеть множество трудностей.
Вот неплохая возможность доказать свою способность трудности преодолевать.

[matemat]

Mikhail_K в сообщении #1170366 писал(а):

А хочет ли он стать математиком? (Потому что если не хочет, то вопрос довольно бессмысленный.)
Учитывая, что высшая математика, которую ему придётся при этом изучать, по виду больше похожа на школьную алгебру, чем на школьную геометрию?

Обычно человек будет охотно заниматься тем, что ему удается лучше всего, что ему приносит удовольствие. К другим разделам математики, кроме геометрии у человека уже выработалось устойчивое отвращение, так как сам процесс превращается в одни страдания и пытки, которые еще подкрепляются негативной самооценкой, вернее оценками по предмету и мнениями окружающих (одноклассников, учителей, родственников) о математических и в целом умственных способностях личности. Зачем тратить битые 2-3 часа времени на 1-2 задачи по математике (алгебре), в итоге получив только моральный конфуз, если за 1 час можно правильно решить несколько очень красивых, интересных задач по геометрии, получив при этом хорошую дозу морально-эстетического наслаждения. Так что трудно сказать, хочет ли в таком положении человек заниматься математикой, быть математиком. Геометром в его детском представлении, наверное да, так как ребенок может думать, что вся существующая геометрия - это то, что они решают в школе по этому предмету, а это у него получается на ура. С преодолением барьеров проблема.

[Metford]

matemat в сообщении #1170382 писал(а):

Зачем тратить бесполезно (так и не получив правильное решение) 2-3 часа времени на 1-2 задачи по математике, в итоге получив только моральный конфуз, если за 1 час можно правильно решить несколько очень красивых, интересных задач по геометрии, получив при этом хорошую дозу морально-эстетического удовлетворения.

Затем, что морально-эстетическое удовлетворение можно получать и более простым способом. Например, читать с выражением на память таблицу умножения, находя свою прелесть в гармонии чисел.
Задачу можно решать и не два-три часа, а больше. На выходе может получиться приобретение полезных навыков. И образование извилин дополнительных. Изучение математики - это труд. Там не может быть, чтобы всё прямо сразу само собой получалось. Настойчивость требуется. И отсутствие реакции на мнение сверстников об умственных способностях.
Если же уже приобретено "устойчивое отвращение", то может быть уже поздно. Нужно бы уже начинать определяться, чем человек хочет заниматься. Ежели математики ни в каком виде в этом занятии/занятиях не будет - то стоит ли игра свеч?.. Останется геометрия этаким хобби. Можно попробовать показать в качестве последнего довода что-то простенькое из аналитической геометрии, чтобы можно было посмотреть на применение "ненавистной алгебры" в геометрии. Если не зацепит - оставить это дело, наверное.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1170366 писал(а):

А вот прямых аналогов элементарной геометрии в высшей математике пожалуй что и нет.

Меня эта мысль в своё время сильно удивляла, как же так: алгебраическую геометрию придумали, а геометрическую геометрию придумать не смогли... Потом как-то отупстило, но осадок остался.

[Anton_Peplov]

(Почему так вышло)

kp9r4d в сообщении #1170471 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1170366 писал(а):

А вот прямых аналогов элементарной геометрии в высшей математике пожалуй что и нет.

Меня эта мысль в своё время сильно удивляла, как же так: алгебраическую геометрию придумали, а геометрическую геометрию придумать не смогли... Потом как-то отпустило, но осадок остался.

Я бы предположил, что тут дело в нашей системе коммуникации. Мы умеем мыслить картинками, но друг другу мысли передаем словами. Сколько-нибудь сложный рисунок - дело достаточно трудоемкое даже и для профессиональных художников. В принципе, можно вообразить какое-то альтернативное человечество, у которого вместо речи и письменности (рисования простых стеореотипных знаков) развилась способность быстро и точно рисовать все, что только можно нарисовать на плоскости в пределах разрешающей способности глаза (оставим за бортом вопрос, в какие условия должно попасть человечество, чтобы рисовать было эволюционно выгоднее, чем говорить). Тогда и математика пошла бы по другому пути. А в нашей реальности геометрический язык оказался для нее неудобным, и она пошла по пути развития вербальных средств. Современные школьники, используя преобразования формул, походя решают задачи, на которые лучшим математикам Греции требовались бы годы.

[Metford]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1170482 писал(а):

Тогда и математика пошла бы по другому пути.

Насчёт другого пути, математиков Греции и подобных вещей есть весьма любопытные - на мой взгляд, конечно - рассуждения у Шпенглера в "Закате Европы". Я понимаю, что тут у многих может возникнуть просто-таки аллергическая реакция на упоминание этой книги. И тем не менее. В её первой части проводится сравнение, грубо говоря, античной математики и математики Нового времени. Даже не слишком тяжеловесно написано... Собственно "философии" там нет.