2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 12:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
При каком наименьшем натуральном $n$ существует лишь конечное множество натуральных чисел, которые при любой перестановке их десятичных цифр делятся на $n$?
(Помните, что число не может начинаться с нуля. К примеру, перестановками числа 101 будут 101 и 110, но не 011.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 13:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 15:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170048 писал(а):
Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

111111 разве на 13 не делится?

-- 19.11.2016, 15:44 --

А следовательно, и любой репьюнит, кратный 6.

-- 19.11.2016, 15:45 --

Вернее, количество единиц в котором кратно 6.

-- 19.11.2016, 15:46 --

Таким образом, получаем счётное множество чисел, которые при любой перестановке цифр делятся на 13.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:05 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Ktina в сообщении #1170080 писал(а):
111111 разве на 13 не делится?
Да, это я сморозил :oops:
Тогда (если опять ответить, не подумав :-) ) получается 16.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:06 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16. Есть подозрение, что 17 подходит.
Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17. Да и вообще любое нечётное простое, кроме 5, делит некоторое число из единичек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:22 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL
NSKuber
16 не годится, как и любая степень двойки.
17 не годится, как и любое простое число (помните задачу, в которой первоклассник Петя знает только цифру 1?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:23 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
NSKuber в сообщении #1170086 писал(а):
Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16.
Точно! Опять ляпнул! :-(
Цитата:
Есть подозрение, что 17 подходит.
Конечно, нет! Чем оно лучше 13?
Цитата:
Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17.
С этими нулями на конце уж не знаю, что подходит. Может, 135? Если нет, то обязуюсь начать думать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Правильный ответ вас шокирует.
Он не дотягивает до 135, но найти его по-детски просто. Чуть сложнее (вернее, нуднее) доказать перебором, что все меньшие числа не годятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:28 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170091 писал(а):
135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

Говорю же, правильный ответ не дотягивает до 135.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

PS: Про 270 я раньше написал.

PPS: Думать так и не начал, некогда :-)

-- 19 ноя 2016, 16:37 --

Тьфу, черт! Оба не годятся. Таки пошел думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170094 писал(а):
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Ktina в сообщении #1170098 писал(а):
VAL в сообщении #1170094 писал(а):
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...
Осталось 70 (Опять не дали подумать :-) )

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:50 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.

-- 19.11.2016, 16:52 --

Ответ больше 70 :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:53 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Ktina в сообщении #1170101 писал(а):
VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.
На до же! :shock: :-)
А 110?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group