Перестановки цифр и делимость

[NSKuber]

Мне кажется, что должно быть больше 135. (косяк, см. update)
Если число $n$ взаимнопросто с десяткой, то по т. Эйлера $10^{\varphi(n)}-1$ (куча девяток) делится на $n$. Можно взять в девять раз бОльшую кучу единичек, поэтому для всякого нечётного $n$, не делящегося на $5$, существует достаточно большая куча единичек, делящаяся на $n$.
Если число чётно, то:
1) Если степень двойки в разложении не превосходит трёх, то подходит кууча восьмёрок;
2) Если нечётный множитель не превосходит девяти, то подходит этот нечётный множитель с кучей нулей;
Поэтому чётное число с таким свойством должно быть не меньше $16\cdot 11=176$.
Если число нечётно (и делится на 5), то
1) Если степень пятёрки в разложении не превосходит единицы, то подходит кууча пятёрок;
2) Если оставшийся нечётный множитель не превосходит девяти, то снова подходит этот нечётный множитель с кучей нулей;
Поэтому делящееся на 5 нечётное с таким свойством должно быть не меньше $25 \cdot 11=275$.

Upd: накосячил, в чётном случае, куча восьмёрок не подходит, если нечётный множитель делится на пять.

Зато можно считать это доказательством отсутствия меньших 110, так как если число чётно, и нечётный множитель делится на 5, то число оканчивается на 0, а примеры для всех таких чисел, меньших 110, тоже легко строятся.

[Ktina]

VAL в сообщении #1170103 писал(а):

Ktina в сообщении #1170101 писал(а):

VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.

На до же!
А 110?

Да!

-- 19.11.2016, 16:58 --

NSKuber в сообщении #1170104 писал(а):

Мне кажется, что должно быть больше 135.

Правильный ответ - 110.

[VAL]

Ktina в сообщении #1170105 писал(а):

VAL в сообщении #1170103 писал(а):

А 110?

Да!

Ура!!

PS: Сколько раз зарекался. Нельзя мне делать два дела одновременно. Ну не Цезарь я. Но всякий раз опять проверяю: а вдруг таки Цезарь?