Перестановки цифр и делимость

[Ktina]

При каком наименьшем натуральном $n$ существует лишь конечное множество натуральных чисел, которые при любой перестановке их десятичных цифр делятся на $n$?
(Помните, что число не может начинаться с нуля. К примеру, перестановками числа 101 будут 101 и 110, но не 011.)

[VAL]

Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

[Ktina]

VAL в сообщении #1170048 писал(а):

Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

111111 разве на 13 не делится?

-- 19.11.2016, 15:44 --

А следовательно, и любой репьюнит, кратный 6.

-- 19.11.2016, 15:45 --

Вернее, количество единиц в котором кратно 6.

-- 19.11.2016, 15:46 --

Таким образом, получаем счётное множество чисел, которые при любой перестановке цифр делятся на 13.

[VAL]

Ktina в сообщении #1170080 писал(а):

111111 разве на 13 не делится?

Да, это я сморозил
Тогда (если опять ответить, не подумав ) получается 16.

[NSKuber]

Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16. Есть подозрение, что 17 подходит.
Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17. Да и вообще любое нечётное простое, кроме 5, делит некоторое число из единичек.

[Ktina]

VAL
NSKuber
16 не годится, как и любая степень двойки.
17 не годится, как и любое простое число (помните задачу, в которой первоклассник Петя знает только цифру 1?)

[VAL]

NSKuber в сообщении #1170086 писал(а):

Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16.

Точно! Опять ляпнул!

Цитата:

Есть подозрение, что 17 подходит.

Конечно, нет! Чем оно лучше 13?

Цитата:

Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17.

С этими нулями на конце уж не знаю, что подходит. Может, 135? Если нет, то обязуюсь начать думать

[Ktina]

Правильный ответ вас шокирует.
Он не дотягивает до 135, но найти его по-детски просто. Чуть сложнее (вернее, нуднее) доказать перебором, что все меньшие числа не годятся.

[VAL]

135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

[Ktina]

VAL в сообщении #1170091 писал(а):

135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

Говорю же, правильный ответ не дотягивает до 135.

[VAL]

Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

PS: Про 270 я раньше написал.

PPS: Думать так и не начал, некогда

-- 19 ноя 2016, 16:37 --

Тьфу, черт! Оба не годятся. Таки пошел думать.

[Ktina]

VAL в сообщении #1170094 писал(а):

Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...

[VAL]

Ktina в сообщении #1170098 писал(а):

VAL в сообщении #1170094 писал(а):

Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...

Осталось 70 (Опять не дали подумать )

[Ktina]

VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.

-- 19.11.2016, 16:52 --

Ответ больше 70

[VAL]

Ktina в сообщении #1170101 писал(а):

VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.

На до же!
А 110?