Движение по-кругу в СТО (проверьте пожалуйста)

[Cryo]

Здравствуйте

Пытаюсь набраться опыта работы в рамках Специальной Относительности самостоятельно. Сейчас интересует движение с ускорением. Прочитал соответствующую главу МТУ. Ниже приведу своё объяснение как воспроизвести мировую линию для объекта движущегося по кругу. Буду благодарен если укажите на допущенные ошибки (и верна ли логика).

Движение по-кругу, значит для покоящегося наблюдателя мировая линия будет спиралью: круг в 3D и движение вперёд по времени. При малых скоростях ожидаем что позиция ускоряющегося объекта будет $\vec{r}=(R\cos(\omega{t}),R\sin(\omega{t}), 0) $ а скорость $\vec{u}=(-{\omega}R\sin(\omega{t}),{\omega}R\cos(\omega{t}), 0) $ (движение по орбите с радиусом R). Эта 3-х скорость будет пространственной частью 4-х скорости. По аналогии предлагаем что 4-х скорость будет $u^{\mu}=(A, -{\omega}R\sin(\omega{\tau}),{\omega}R\cos(\omega{\tau}), 0)$, где А пока неизвестна а $\tau$ это собственное время ускоряющегося объекта.

Если мировая линия дана как $x^{\mu}=x^{\mu}(\tau)$ то $u^{\mu}{\equiv}dx^{\mu}/d{\tau}$, где c\tau это длина мировой линии (c - скорость света). Из этого следует что {u}^{\mu}u_{\mu}=c^2 всегда: то-есть длина вектора соединяющего две ближние точки на кривой всегда равна длине отрезка кривой между этими двумя точками (по определению ).

Тогда $c^2=A^2-{\omega}^2 R^2 \quad \Rightarrow \quad $u^{\mu}=(c\sqrt{1+\frac{\omega^2 R^2}{c^2}}, -{\omega}R\sin(\omega{\tau}),{\omega}R\cos(\omega{\tau}), 0)$ (знак корня выбран чтобы двигаться вперёд во-времени). Пока верно?

Допустим меня интересует замедление времени. Для неподвижного наблюдателя замедление времени это cdt=(dx)^{0} то-есть мы берём две ближние точки на мировой линии соединяем их вектором. Нулевая компонента тогда это шаг во времени. Из определения 4-х скорости следует что $dx^{0}=u^{0}d\tau$. Тогда $dt=\sqrt{1+\frac{\omega^2 R^2}{c^2}}d\tau \quad \Rightarrow \quad dt/d\tau=\sqrt{1+\frac{\omega^2 R^2}{c^2}}$.

Верно?
Спасибо!

[rustot]

4-скорость это не "добавить к 3-скорости какой нибудь 4 параметр", это производная $u^i = dx^i / ds = (c dt, \vec{dr})/\sqrt{c^2dt^2-dr^2} = (c, \vec{v})/\sqrt{c^2-v^2} = (\gamma, \gamma\vec{v}/c)$

Либо берут производную по собственному времени $\tau=ds/c$, тогда получают $(\gamma c, \gamma \vec{v})$. Не знаю какой вариант на сегодняшний день считается "каноническим", скорее первый

Во втором случае вы имеете выражение "на сколько прирастают координаты тела за единицу собственного времени", в частности координата $c t$ прирастает на $c\gamma d\tau$

[Munin]

rustot в сообщении #1169873 писал(а):

Не знаю какой вариант на сегодняшний день считается "каноническим", скорее первый

Поскольку они абсолютно одинаковы, то без разницы.

[Cryo]

rustot в сообщении #1169873 писал(а):

4-скорость это не "добавить к 3-скорости какой нибудь 4 параметр", это производная $u^i = dx^i / ds = (c dt, \vec{dr})/\sqrt{c^2dt^2-dr^2} = (c, \vec{v})/\sqrt{c^2-v^2} = (\gamma, \gamma\vec{v}/c)$

Либо берут производную по собственному времени $\tau=ds/c$, тогда получают $(\gamma c, \gamma \vec{v})$. Не знаю какой вариант на сегодняшний день считается "каноническим", скорее первый

Я понимаю что 4х-скорость это не просто 3х-скорость++. Но как построить 4х-скорость для обычной ситуации которая мне знакома из 3х-мерного мира? Я подумал что надо требовать чтобы разница между 4d и 3d исчезла при малых скоростях. Также я знаю что при малых скоростях \gamma\to 1, \tau\to t и v\gamma\approx v + O((v/c)^3). Тоесть я на малых скоростьях 'угадал' какой формы должна быть пространственная часть скорости а потом подогнал временную чтобы модуль 4х-скорости был верным.

[Munin]

Cryo в сообщении #1169885 писал(а):

Но как построить 4х-скорость для обычной ситуации которая мне знакома из 3х-мерного мира?

Помножить обычную 3-скорость на гамму. Вы знаете, что такое гамма? Гамма - это стандартное обозначение для множителя $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}.$ Использование этого обозначения очень экономит чернила и силы при выкладках.

То есть, вот это:

Cryo в сообщении #1169870 писал(а):

Эта 3-х скорость будет пространственной частью 4-х скорости.

- просто неверно.

Ещё, в вашем случае $x^0\equiv t$ и $\tau$ просто пропорциональны, и удобно всё переписать как функции от $t.$

[rustot]

Cryo в сообщении #1169885 писал(а):

Тоесть я на малых скоростьях 'угадал' какой формы должна быть пространственная часть скорости а потом подогнал временную чтобы модуль 4х-скорости был верным.

Странный подход, и та и другая скорости по определению производные, зачем их угадывать и подгонять?

[Cryo]

Большое спасибо за комментарии

Я попытаюсь последовать совету Munin. Пускай у нас модуль скорости $\omega R$. Следовательно $\gamma=1/\sqrt{1-(\omega R/c)^2}$. 3-х скорость $\vec{v}={\omega}R(-\sin(\omega \tau), \cos(\omega \tau), 0)$, a 4-x скорость $u^{\mu}=(c\gamma, -\omega\gamma R \sin(\omega \tau), \omega\gamma R \cos(\omega \tau), 0)$.

Теперь это можно проинтегрировать по $\tau$ и получить $x^{\mu}(\tau)-x^{\mu}(0)=(c\gamma\tau, \gamma R \cos(\omega \tau), \gamma R \sin(\omega \tau), 0)$. Тоесть получаем что радиус орбиты=$\gamma R$. Он зависит от скорости. Это конечно неудивительно: при нарощении угловой скорости, радиус меняется так что 3х-скорость никогда не достигает скорости света.

В моём случае ситуация другая. Скорость (пока) не фискирована формулой. А вот радиус вращения как раз фиксирован. У меня мировая линия будет $x^{\mu}(\tau)-x^{\mu}(0)=(c\sqrt{1+(\omega R/c)^2}, R \cos(\omega \tau), R \sin(\omega \tau), 0)$, а скорость будет:

$\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=c\frac{d\vec{x}}{d\tau}\cdot\frac{d\tau}{dx^0}= c\vec{u}/u^0

$|\vec{v}|=\frac{c\omega R}{\sqrt{1+(\omega R/c)^2}}$

Где $u^{\mu}=(u^0, \vec{u})$ и $x^{\mu}=(x^0, \vec{x})$. Насколько я понимаю такая мировая линия ничто не нарушает, и следовательно может описывать физичскую ситуацию...

rustot в сообщении #1169888 писал(а):

Cryo в сообщении #1169885

писал(а):
Тоесть я на малых скоростьях 'угадал' какой формы должна быть пространственная часть скорости а потом подогнал временную чтобы модуль 4х-скорости был верным.

Странный подход, и та и другая скорости по определению производные, зачем их угадывать и подгонять?

Так они производные по разным вещам. 3х-скорость это производная по лабораторному времени а 4х по собственному. Интуитивно я понимаю 3х-скорость, и знаю что должно быть возможно на, на малых скоростях, заменить 3х-скорость на пространственную компоненту 4х, а лаб. время на собственное время. После замены я соблюдаю едиственное ограничение которое есть (модуль 4х-скорости) и смотрю что получилось. Получилось описание какой-то картины с движением по орбите, которое на малых скоростях соответсвует моей интуиции: вот и всё

-- 18.11.2016, 15:19 --

Cryo в сообщении #1169904 писал(а):

Я попытаюсь последовать совету Munin. Пускай у нас модуль скорости $\omega R$. Следовательно $\gamma=1/\sqrt{1-(\omega R/c)^2}$. 3-х скорость $\vec{v}={\omega}R(-\sin(\omega \tau), \cos(\omega \tau), 0)$, a 4-x скорость $u^{\mu}=(c\gamma, -\omega\gamma R \sin(\omega \tau), \omega\gamma R \cos(\omega \tau), 0)$.

Можно конечно взять $u^{\mu}=(c\gamma, -\omega\gamma R \sin(\gamma \omega \tau), \omega\gamma R \cos(\gamma \omega \tau), 0)$ тогда мировая линия

x^{\mu}(\tau)-x^{\mu}(0)=(c\gamma\tau, R\cos(\gamma \omega \tau), R\sin(\gamma \omega \tau), 0)

Это ещё одно описание, которое меняется на то что изначально дал я, подстановкой: $\gamma\omega \to \omega $. То-есть есть уже 3 разных мировых линий. Разве одна из них верная а две другие нет?

[Slav-27]

Cryo в сообщении #1169904 писал(а):

Интуитивно я понимаю 3х-скорость, и знаю что должно быть возможно на, на малых скоростях, заменить 3х-скорость на пространственную компоненту 4х... После замены я соблюдаю едиственное ограничение которое есть (модуль 4х-скорости) и смотрю что получилось.

Но сделать это можно целой кучей способов! Один из них соответствует движению, которое из лаборатории видится как движение по окружности радиуса $R$ с постоянной скоростью. Это тот, который получается по формулам rustot.

Остальные могут быть тоже хорошими, но соответствовать какому-то другому движению, посчитайте, какому.

-- 18.11.2016, 19:31 --

Cryo в сообщении #1169904 писал(а):

Тоесть получаем что радиус орбиты=$\gamma R$. Он зависит от скорости. Это конечно неудивительно: при нарощении угловой скорости, радиус меняется так что 3х-скорость никогда не достигает скорости света.

Чего-чего? Это не радиус орбиты. Радиус орбиты как раз $R$. А ваша мировая линия соответствует движению по окружности, но какого-то другого радиуса.

[Cryo]

Slav-27 в сообщении #1169909 писал(а):

Cryo в сообщении #1169904

писал(а):
Тоесть получаем что радиус орбиты=$\gamma R$. Он зависит от скорости. Это конечно неудивительно: при нарощении угловой скорости, радиус меняется так что 3х-скорость никогда не достигает скорости света. Чего-чего? Это не радиус орбиты. Радиус орбиты как раз $R$. А ваша мировая линия соответствует движению по окружности, но какого-то другого радиуса.

В лаборатории мы видим что обьект двигается по окружности с радиусом $\gamma R$, это мы определяем радиусом. А $R$ это просто число которое было введено вначале. По-опеределению оно будет соответствовать радиусу на малых скоростях, но не более.

-- 18.11.2016, 15:49 --

Slav-27 в сообщении #1169909 писал(а):

Но сделать это можно целой кучей способов! Один из них соответствует движению, которое из лаборатории видится как движение по окружности радиуса $R$ с постоянной скоростью. Это тот, который получается по формулам rustot.

Остальные могут быть тоже хорошими, но соответствовать какому-то другому движению, посчитайте, какому.

Тоесть мой подход тоже верен? Я просто хочу понять не как надо делать, а как делать нельзя

[rustot]

Cryo в сообщении #1169912 писал(а):

По-опеределению оно будет соответствовать радиусу на малых скоростях, но не более.

Непонятно. У вас радиус траектории тела определяется не силами которые к нему приложены? Почему он вдруг увеличивается и почему именно в $\gamma$ раз? Это же не магическое чисто на которое все обязано умножаться. Какой радиус траектории задали такой и получится. Ну вот желоб радиусом $R$, с какой стати радиус траектории катающегося по нему шарику вдруг начнет зависеть от его скорости?

[Cryo]

rustot в сообщении #1169913 писал(а):

Cryo в сообщении #1169912

писал(а):
По-опеределению оно будет соответствовать радиусу на малых скоростях, но не более.

Непонятно. У вас радиус траектории тела определяется не силами которые к нему приложены? Почему он вдруг увеличивается и почему именно в $\gamma$ раз? Это же не магическое чисто на которое все обязано умножаться. Какой радиус траектории задали такой и получится. Ну вот желоб радиусом $R$, с какой стати радиус траектории катающегося по нему шарику вдруг начнет зависеть от его скорости?

Извините, я немного отошёл от того о чём я говорил вначале (реагируя на комментарии), поэтому и непонятно. Вот то что я предложил:

4-х скорость:
$u^{\mu}=(c\sqrt{1+\omega^2{R}/c^2}, -\omega R \sin(\omega\tau), \omega R \cos(\omega\tau), 0)$

мировая линия:
$x^{\mu}-x^{\mu}_0=(c\sqrt{1+\omega^2{R}/c^2}\tau, R \cos(\omega\tau), R \sin(\omega\tau), 0)$

скорость для неподвижного наблюдателя:
$|\vec{v}|=\omega R/\sqrt{1+\omega^2{R}/c^2}$

замедление времени:
$dt/d\tau=\sqrt{1+\omega^2{R}/c^2}$

Пока что у меня складывается впечатление что этот подход верный, но, скорее всего нестандартный, но разве это проблема?

-- 18.11.2016, 17:02 --

Заметьте что здесь радиус фиксирован и равен $R$.

[Утундрий]

Cryo в сообщении #1169919 писал(а):

замедление времени

Вы этот термин сами придумали или вычитали где-то?

[rustot]

Вам же уже дважды сказали что это не 4-скорость. Она вычисляется не наугад и не подбором, а по определению


В классическое механике вы бы решали эту задачу через $\vec{F} = m\frac{d^2}{dt^2} \vec{r}$. Для вашего уравнения движения $\frac{d^2}{dt^2} \vec{r} = -w^2 \vec{r}$, следовательно сила равна $\vec{F} = -m w^2 \vec{r}$

В СТО все совершенно симметрично $F^i = m \frac{d^2}{d\tau^2} x^i$

если вы задали мировую линию как $x^i = (c t, R\cos(w t), R\sin(w t), 0)$ то

$\frac{d}{d\tau}x^i = (\gamma c, - \gamma w R \sin(w t), \gamma w R\cos(w t), 0)$
$\frac{d^2}{d\tau^2} x^i = (0, -\gamma^2 w^2 \vec{r})$
$F^i = (0, -m \gamma^2 w^2 \vec{r})$

с учетом того что 4-сила в проекции на исо это $(\gamma P, \gamma\vec{F})$ мы получили что для такого движения требуется нулевая мощность, а сила в $\gamma$ раз больше чем в классическом варианте

что же касается соотношения временнОй координаты исо и собственного времени тела то мы его получили прямо в явном виде в первом компоненте $\frac{d}{d\tau} x^i$

Cryo в сообщении #1169919 писал(а):

скорость для неподвижного наблюдателя:

Скорость относительно исо вы задали в исходных условиях. Каким образом результатом решения получилось то что задано уже в условии да еще и получилось другой величины? Вы записали уравнение движения относительно исо, потом произвели какие то вычисления и "получили" что это уравнение движение оказывается другое, и скорость другая и радиус другой.

[Munin]

Разговор ушёл вперёд, я комментировать ваши старые ошибки не буду. Вычисление по формуле из 3-скорости, и напрямую дифференцированием по мировой линии, должны давать одинаковые значения 4-скорости. Пока у вас получается что-то разное - где-то ошибки.

[Cryo]

Утундрий в сообщении #1169924 писал(а):

Cryo в сообщении #1169919 писал(а):

замедление времени

Вы этот термин сами придумали или вычитали где-то?

Time dilation. Разница между ходом часов неподвижного наблюдателя (время $t$) и ходом часов на ускоряющемся обьекте (время $\tau$). Time dilation=$dt/d\tau$.

Munin в сообщении #1169985 писал(а):

Вам же уже дважды сказали что это не 4-скорость. Она вычисляется не наугад и не подбором, а по определению


В классическое механике вы бы решали эту задачу через $\vec{F} = m\frac{d^2}{dt^2} \vec{r}$. Для вашего уравнения движения $\frac{d^2}{dt^2} \vec{r} = -w^2 \vec{r}$, следовательно сила равна $\vec{F} = -m w^2 \vec{r}$

В СТО все совершенно симметрично $F^i = m \frac{d^2}{d\tau^2} x^i$

если вы задали мировую линию как $x^i = (c t, R\cos(w t), R\sin(w t), 0)$ то

$\frac{d}{d\tau}x^i = (\gamma c, - \gamma w R \sin(w t), \gamma w R\cos(w t), 0)$
$\frac{d^2}{d\tau^2} x^i = (0, -\gamma^2 w^2 \vec{r})$
$F^i = (0, -m \gamma^2 w^2 \vec{r})$

Вот это уже ближе! Дайте пожалуйста определение 4х скорости которое вы используете. Я думал что 4х-скорость по определению это просто производная от мировой линии обьекта по его собственному времени. Под это определение то что я сделал подходит. Мне кажется вы пытаетесь мне сказать что 4х-скорость надо выводить для какого-то физического сценария. Тоесть из уравнений движения. В МТУ (для ускорения в одном направелнии) тоже делается так. Я тоже попытаюсь сделать так:

Мой сценарий в том что у ускоряющегося объекта есть ракета дающая ускорение модулем в $a$. Прикреплена носом к объекту и поворачивается вокруг оси $\hat{z}$ с угловой скоростью $\omega$. Мощность не подаём. Тогда уравнение движения:

$\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^2}=(0, -a\cos(\omega\tau), -a\sin(\omega\tau), 0)$

Заметьте что так как ракета неподвижна относительно объекта то у нас пока-что везде собственное время. Теперь мы интегрируем по $\tau$ и получаем 4х-скорость, но временная компонента неизвестна (это одна из 4х констант интеграции, 3 другие принимаем нулевыми):

$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=(A, -\frac{a}{\omega}\sin(\omega\tau), \frac{a}{\omega}\cos(\omega\tau), 0)$

Из u^{\mu}u_{\mu}=c^2 \Rightarrow A=c\sqrt{1+(a/\omega c)^2}

Так верно?