2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5804
Пусть $\{x_n\}$ — последовательность в некотором метрическом пространстве, и пусть $x_{\infty}$ — заданный элемент. Предположим, что каждая подпоследоввательность из $x_n$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к $x_{\infty}$. Докажите, что $x_n \longrightarrow x_{\infty}$.

Так сложилась судьба, что мне нужно решить эту задачу. Сколь-нибудь результативных попыток и хороших идей и у меня нет, посему перехожу к изложению плохих.

Попытка №1.
Во-первых, ясно, что если бы удалось доказать фундаментальность последовательности, то доказать сходимость к $x_{\infty}$ не проблема. Но то, что фундаментальность доказывать легче, чем непосредственно сходимость, — неочевидно. Если же идти от противного, то легче всего, конечно, доказывать как можно более слабое утверждение. Поэтому попытаемся для начала доказать от противного "ограниченность", а именно: $$(\exists \varepsilon > 0) \exists n (\forall m > n) \colon \rho(x_n, x_m) < \varepsilon \eqno{(1)}$$
Итак, предположим, что это неверно, то есть (на строгость-нестрогость неравенств пока наплюём), что $(\forall \varepsilon > 0)\forall n (\exists m > n) \colon \rho(x_n, x_m) > \varepsilon$. Теперь, если удастся построить такую подпоследовательность, чтобы никакая её подпоследовательность не была фундаментальной, получится противоречие. Зафиксируем некоторое $\varepsilon_0 >0$ и возьмём в качестве первого элемента подпоследовательности $x_1$. Тогда найдётся такое $n_2 > 1$, что $\rho(x_1, x_{n_2}) > \varepsilon_0$. Возьмём в качестве второго элемента $x_{n_2}$. Тогда найдётся такое $n_3 > n_2$, что $\rho(x_{n_2},x_{n_3}) > 2\varepsilon_0$. Ну и т. д. Получающаяся последовательность в некотором роде аналогична числовой последовательности $1,-2,4,-8,16,...$, так что доказать то, что любая её подпоследовательность не является фундаментальной несложно (опять же от противного).

Далее надо как-то усилить полученный результат. Для начала хорошо бы перевернуть квантор в $(1)$: $\exists n \to \forall n$. Но доработать доказательство для этого случая не получается.

Попытка №2.
Может быть возиться с эпсилонами не лучшая идея? Попробуем более прямой подход. Будем обозначать через $x_S$ последовательность $\{x_{i(n)}\}$, являющуюся подпоследовательностью $\{x_n\}$, где $S \subset \mathbb N$, $S$ — область значений функции $i(n)$. Таким образом $\{x_n\} \equiv x_{\mathbb N}$.

Предположим, что последовательность $x_{\mathbb N}$ не сходится к $x_{\infty}$. Тогда у неё есть некоторая подпоследовательность $x_{S_1}$, которая сходится к $x_{\infty}$. Тогда последовательность $x_{E_1}$, где $E_1=\mathbb N \diagdown S_1$, не сходится к $x_{\infty}$. Тогда у неё есть сходящаяся к $x_{\infty}$ подпоследовательность $x_{S_2}$. Тогда последовательность $x_{E_2}$, где $E_2=E_1 \diagdown S_2$, не сходится к $x_{\infty}$. И т. д. Получаем последовательность подпоследовательностей, не сходящихся к $x_{\infty}$. Однако "исчерпать" таким образом что-либо не представляяется возможным. Взять предел последовательности несходящихся последовательностей? Но непонятно по какой метрике. Соурудить диагональную последовательность из первого элемента $E_1$, второго $E_2$ и т. д.? Но непонятно, с чего бы ей не сойтись к $x_{\infty}$.

В общем, как я и сказал, хороших идей у меня нет, так что будет здорово, если кто-нибудь найдёт возможность дать мне подсказку в каком всё-таки направлении копать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 20:03 
Заслуженный участник


13/12/05
3879
Если $x_n\not\to x_\infty$, то вне некоторой окрестности $x_\infty$ лежит целая подпоследовательность. Эта подпоследовательность не содержит подпоследовательности, сходящейся к $x_\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5804
Padawan, спасибо. Кажется, мне всё стало ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6305
То чувство, когда тебя опередили, пока ты набирал сообщение.
P.S. Я вот вообще ничего не умею доказывать от приятного более чем в один ход и все доказываю от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5804
Anton_Peplov в сообщении #1169066 писал(а):
P.S. Я вот вообще ничего не умею доказывать от приятного более чем в один ход и все доказываю от противного.
Да, это почему-то проще. При том, что если "противность" фиктивная, то, по-идее, переход к доказательству "от приятного" делается совершенно формально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6305
warlock66613 в сообщении #1169069 писал(а):
Да, это почему-то проще.
Думаю, потому, что задача "найди, каким местом елка не проходит в дверь" гораздо лучше отвечает эволюционно сформированным когнитивным навыкам человека, чем задача "да, я вижу, что горшок с кактусом проходит в дверь, но теперь докажи это". Тут ступор - а что еще доказывать, зачем? Видно же, что проходит. Поисковый рефлекс не включается. Впрочем, я, скорее всего, неправомерно обобщаю на человечество свой собственный скудный опыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9250

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1169074 писал(а):
"да, я вижу, что горшок с кактусом проходит в дверь, но теперь докажи это". Тут ступор - а что еще доказывать, зачем?
Напомнило:
В.О. писал(а):
- Хорошо, - сказал я. - Я тоже задам последовательность вопросов о местоположении.
- Задавай, задавай, - пробормотал Чапаев.
- Начнем по порядку. Вот вы расчесываете лошадь. А где находится эта лошадь?
Чапаев посмотрел на меня с изумлением.
- Ты что, Петька, совсем охренел?
- Прошу прощения?
- Вот она.
Несколько секунд я молчал. К такому повороту я совершенно не был готов. Чапаев недоверчиво покачал головой.
- Знаешь, Петька, - сказал он, - шел бы ты лучше спать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость последовательности
Сообщение14.11.2016, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6305

(Тоже напомнило)

- Доктор, помогите мне найти себя.
- Так вот же вы!
- Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group