Доказать сходимость последовательности

[warlock66613]

Пусть $\{x_n\}$ — последовательность в некотором метрическом пространстве, и пусть $x_{\infty}$ — заданный элемент. Предположим, что каждая подпоследоввательность из $x_n$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к $x_{\infty}$. Докажите, что $x_n \longrightarrow x_{\infty}$.

Так сложилась судьба, что мне нужно решить эту задачу. Сколь-нибудь результативных попыток и хороших идей и у меня нет, посему перехожу к изложению плохих.

Попытка №1.
Во-первых, ясно, что если бы удалось доказать фундаментальность последовательности, то доказать сходимость к $x_{\infty}$ не проблема. Но то, что фундаментальность доказывать легче, чем непосредственно сходимость, — неочевидно. Если же идти от противного, то легче всего, конечно, доказывать как можно более слабое утверждение. Поэтому попытаемся для начала доказать от противного "ограниченность", а именно:

$$(\exists \varepsilon > 0) \exists n (\forall m > n) \colon \rho(x_n, x_m) < \varepsilon \eqno{(1)}$$

Итак, предположим, что это неверно, то есть (на строгость-нестрогость неравенств пока наплюём), что $(\forall \varepsilon > 0)\forall n (\exists m > n) \colon \rho(x_n, x_m) > \varepsilon$. Теперь, если удастся построить такую подпоследовательность, чтобы никакая её подпоследовательность не была фундаментальной, получится противоречие. Зафиксируем некоторое $\varepsilon_0 >0$ и возьмём в качестве первого элемента подпоследовательности $x_1$. Тогда найдётся такое $n_2 > 1$, что $\rho(x_1, x_{n_2}) > \varepsilon_0$. Возьмём в качестве второго элемента $x_{n_2}$. Тогда найдётся такое $n_3 > n_2$, что $\rho(x_{n_2},x_{n_3}) > 2\varepsilon_0$. Ну и т. д. Получающаяся последовательность в некотором роде аналогична числовой последовательности $1,-2,4,-8,16,...$, так что доказать то, что любая её подпоследовательность не является фундаментальной несложно (опять же от противного).

Далее надо как-то усилить полученный результат. Для начала хорошо бы перевернуть квантор в $(1)$: $\exists n \to \forall n$. Но доработать доказательство для этого случая не получается.

Попытка №2.
Может быть возиться с эпсилонами не лучшая идея? Попробуем более прямой подход. Будем обозначать через $x_S$ последовательность $\{x_{i(n)}\}$, являющуюся подпоследовательностью $\{x_n\}$, где $S \subset \mathbb N$, $S$ — область значений функции $i(n)$. Таким образом $\{x_n\} \equiv x_{\mathbb N}$.

Предположим, что последовательность $x_{\mathbb N}$ не сходится к $x_{\infty}$. Тогда у неё есть некоторая подпоследовательность $x_{S_1}$, которая сходится к $x_{\infty}$. Тогда последовательность $x_{E_1}$, где $E_1=\mathbb N \diagdown S_1$, не сходится к $x_{\infty}$. Тогда у неё есть сходящаяся к $x_{\infty}$ подпоследовательность $x_{S_2}$. Тогда последовательность $x_{E_2}$, где $E_2=E_1 \diagdown S_2$, не сходится к $x_{\infty}$. И т. д. Получаем последовательность подпоследовательностей, не сходящихся к $x_{\infty}$. Однако "исчерпать" таким образом что-либо не представляяется возможным. Взять предел последовательности несходящихся последовательностей? Но непонятно по какой метрике. Соурудить диагональную последовательность из первого элемента $E_1$, второго $E_2$ и т. д.? Но непонятно, с чего бы ей не сойтись к $x_{\infty}$.

В общем, как я и сказал, хороших идей у меня нет, так что будет здорово, если кто-нибудь найдёт возможность дать мне подсказку в каком всё-таки направлении копать.

[Padawan]

Если $x_n\not\to x_\infty$, то вне некоторой окрестности $x_\infty$ лежит целая подпоследовательность. Эта подпоследовательность не содержит подпоследовательности, сходящейся к $x_\infty$.

[warlock66613]

Padawan, спасибо. Кажется, мне всё стало ясно.

[Anton_Peplov]

То чувство, когда тебя опередили, пока ты набирал сообщение.
P.S. Я вот вообще ничего не умею доказывать от приятного более чем в один ход и все доказываю от противного.

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1169066 писал(а):

P.S. Я вот вообще ничего не умею доказывать от приятного более чем в один ход и все доказываю от противного.

Да, это почему-то проще. При том, что если "противность" фиктивная, то, по-идее, переход к доказательству "от приятного" делается совершенно формально.

[Anton_Peplov]

warlock66613 в сообщении #1169069 писал(а):

Да, это почему-то проще.

Думаю, потому, что задача "найди, каким местом елка не проходит в дверь" гораздо лучше отвечает эволюционно сформированным когнитивным навыкам человека, чем задача "да, я вижу, что горшок с кактусом проходит в дверь, но теперь докажи это". Тут ступор - а что еще доказывать, зачем? Видно же, что проходит. Поисковый рефлекс не включается. Впрочем, я, скорее всего, неправомерно обобщаю на человечество свой собственный скудный опыт.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1169074 писал(а):

"да, я вижу, что горшок с кактусом проходит в дверь, но теперь докажи это". Тут ступор - а что еще доказывать, зачем?

Напомнило:

В.О. писал(а):

- Хорошо, - сказал я. - Я тоже задам последовательность вопросов о местоположении.
- Задавай, задавай, - пробормотал Чапаев.
- Начнем по порядку. Вот вы расчесываете лошадь. А где находится эта лошадь?
Чапаев посмотрел на меня с изумлением.
- Ты что, Петька, совсем охренел?
- Прошу прощения?
- Вот она.
Несколько секунд я молчал. К такому повороту я совершенно не был готов. Чапаев недоверчиво покачал головой.
- Знаешь, Петька, - сказал он, - шел бы ты лучше спать.

[Anton_Peplov]

(Тоже напомнило)

- Доктор, помогите мне найти себя.
- Так вот же вы!
- Спасибо.