Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$

[vxv]

Требуется доказать, что для натурального $n = 3$ уравнение
$a^3+b^3=c^3$ (1)
не имеет натуральных решений $a, b$ и $c$.
Доказательство:
Предположим, что параметры $a,b,c,m$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ (для $x=1$) - натуральные числа, $x$ любое натуральное число, при котором выражение $3(c+2x)(ab-2xc)$ из (5) - куб, ОДЗ для $a,b,c,m$ – натуральный ряд.
Тогда (способом от противного):
$a^3+b^3=c^3$ (1)
$a+b=c+m$ (2)
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases}$
Из системы уравнений следует, что $m$ - только четное число:
Если $a$ и $b$ оба четные, то $c$ и $m$ оба четные.
Если $a$ и $b$ нечетные, то $c$ и $m$ четные.
Если $a$ нечетное, а $b$ четное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Если $a$ четное, а $b$ нечетное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
$(a+b)^3=(c+2x)^3$ (3)
$c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ (4)
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6) – наименьший куб ($x=1$).
Между (5) и (6) линейная зависимость.
Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$, поэтому
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)
Но тогда
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $).
Что и требовалось доказать.

[shwedka]

Цитата:

Между (5) и (6) линейная зависимость.

Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

А кто такие $a_1, b_1, c_1$?

Цитата:

Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$

Косноязычие. Вы, видимо, имели в виду
Но (6) не может быть ВЕРНЫМ равенством НИ ДЛЯ КАКИХ натуральных $a,b,c$.

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$, поэтому
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)

ПОчему в (7) знак 'больше', а не 'меньше'?




вот это 'следовательно' нужно старательно доказать.
Исправьте и запишите заново, начиная с (3).

[cmpamer]

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases}$

$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)

А как быть, например, с таким раскладом: $a=7, b=8, c=9; (x=3)$ ? Получается, $90>216$ ?

[shwedka]

cmpamer в сообщении #1165533 писал(а):

А как быть, например, с таким раскладом

Не годится. И никакой пример не годится. Ведь $a,b,c$ должны быть решением УФ3. А таких, как некоторые знают, нет.
Другое дело, что обсуждаемое неравенство не доказано.

[vxv]

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)

Уважаемый cmpamer
Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится).
Возникает «проблема» знака «минус» в левой части (7), на что указывает shwedka
Но, возможно, пойду на упрощение для $n=3$ - поменяю знак «больше - меньше» на другой…

P.S. Этот вариант доказательства не связан в полном объеме с моей соседней темой topic75889.html .

[shwedka]

vxv в сообщении #1165560 писал(а):

Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится)

Нет, это ВАМ нужно.

[cmpamer]

shwedka в сообщении #1165552 писал(а):

Другое дело, что обсуждаемое неравенство не доказано.

Именно это я и хотел сказать, указав на "контрпример". Про "линейную зависимость" уже и не стал спрашивать (честно признаюсь - побоялся).

-- 03.11.2016, 00:06 --

vxv в сообщении #1165560 писал(а):

Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится).

Вот по поводу этого перехода - поподробнее, пожалуйста.

[vasili]

Уважаемый vxv! Откуда Вы взяли, что $c^3-(a + b)^3 = 0$? Равенство (5) Вы получили благодаря этому.

[vxv]

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):

ПОчему в (7) знак 'больше', а не 'меньше'?

cmpamer в сообщении #1165533 писал(а):

А как быть, например, с таким раскладом: $a=7, b=8, c=9; (x=3)$ ? Получается, $90>216$ ?

cmpamer в сообщении #1165585 писал(а):

Именно это я и хотел сказать, указав на "контрпример".

Уважаемая shwedka

Попробую обосновать так (есть и другое обоснование). Если областью допустимых значений для равенства $A+B=C$, где $A<B<C$ (например, $1+2=3$) является натуральный ряд, то это равенство может быть преобразовано в другое равенство только в виде $C-B=A$ или $C-A=B$, то есть или $3-2=1$, или $3-1=2$.
Преобразование $A+B=C$ в $B–C=-1$ или $A-C=-2$ не соответствуют ОДЗ – натуральный ряд, из-за отрицательных значений $A=-1$ и $B=-2$.
Для $a^3+b^3-c^3=3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3$ выражение $3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3=0$ не соответствуют ОДЗ - натуральный ряд, поскольку $2xc-ab<0$ (отрицательное число).
Тогда (в соответствии с ОДЗ) имеет место быть:
$c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ (4), где $ab-2xc>0$ (не отрицательное число).
Также в рамках ОДЗ нельзя из меньшего натурального числа вычитать большее, поэтому в случае неравенства $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $) для (4) имеют место только неравенства:
$c^3>(a^3+b^3)$ и $3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$.

cmpamer
В Вашем примере: $7^3+8^3-9^3=3(7+8)(-2)+216$ для $a=7, b=8, c=9; (m=6)$. Число $(-2)$ не входит в ОДЗ - натуральный ряд, и следовательно допустимо при подборе приближать $c$ к $c=10$, а не к $c=9$, но тогда $m=5$ - нечетное число.

[shwedka]

vxv в сообщении #1169002 писал(а):

Также в рамках ОДЗ нельзя из меньшего натурального числа вычитать большее

Это утверждение ошибочно.
Вас уже на этом месте останавливали.
От того, что производится операция
$A-B$, числа $A,B$ не перестают быть положительными, каков бы ни был результат вычитания.

[vxv]

shwedka в сообщении #1169012 писал(а):

От того, что производится операция
$A-B$, числа $A,B$ не перестают быть положительными, каков бы ни был результат вычитания.

Операция $A-B$ к преобразованию в рамках ОДЗ равенства $A+B=C$, где $A<B<C$, не имеет отношения. Но преобразование $A+B=C$ в $B-C=-1$ легко превращают $A$ в отрицательное число.
В выражении $3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3=0$ сочетание $2xc-ab$ - однозначно отрицательное число.

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):

Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

Попробую, заодно:
Прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной зависимости, а равенство двух отношений называют пропорцией.
Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.

vasili в сообщении #1165614 писал(а):

Откуда Вы взяли, что $c^3-(a + b)^3 = 0$?

А Вы откуда это взяли? Я такого не писал.

[shwedka]

vxv в сообщении #1169035 писал(а):

Но преобразование $A+B=C$ в $B-C=-1$ легко превращают $A$ в отрицательное число.

Продемонстрируйте это легкое превращение.
только преобразование не в $B-C=-1$, а в $B-C=-A$

vxv в сообщении #1169035 писал(а):

Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными

Не годится. Я спрашивала о линейной зависимости уравнений,

Цитата:

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

А Вы подменили зависимостью величин. Обман получается.

[vasili]

Левая часть равенства (4) равна $c^3 - (a + b)^3$. Равенство (5) получено из (4) только при условии если $c^3 - (a + b)^3 = 0$.

[vxv]

shwedka в сообщении #1169052 писал(а):

Не годится. Я спрашивала о линейной зависимости уравнений,
Цитата:

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.
А Вы подменили зависимостью величин. Обман получается.

Уважаемая shwedka.
Не уверен в необходимости отделять величины от выражений, в которые эти величины входят. Поэтому попробую обосновать, как вижу. И это не обман, а следствие принятого (способом от противного) допущения, что выражения:
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6)
- верные равенства.
Или иначе:
$Y_x = 8X + Z_x$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1 = Z_x = 0$, $X=x^3$, $Y_x=3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3+Z_x$
И, наоборот, никакой линейной зависимости, если (6) и (5) на самом деле неравенства:
$Y_x > 8X$
$Y_1 > 8X_1$,
Так как могут быть преобразованы (поскольку $a,b,c,2x$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ связаны соответственно одним коэффициентом пропорциональности $x$) в верные равенства:
$Y_x = 8X + Z_1X$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1\neq Z_x\neq0$, $X=x^3$.
То есть во втором случае, в отличие от изначально принятого предположения, точки графиков $Y=3(c+2x)(ab-2xc)$ и $Y=(2x)^3$ при фиксированных значениях $x_1$ и $x$ попарно не совпадают, когда $a,b,c,x$ - натуральные числа.
То есть
$c^3>(a^3+b^3)$,
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $.

Поэтому же:
$\sum\limits_{x=1}^{\infty}3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ = $\sum\limits_{x=1}^{\infty}[c_1^3-(a_1^3+b_1^3)]x$ - расходящийся ряд,
когда $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $ и $c^3>a^3+b^3$ (согласно ОДЗ).

[shwedka]

vxv в сообщении #1173846 писал(а):

$a,b,c,2x$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ связаны соответственно одним коэффициентом пропорциональности $x$

Утверждение не доказано

Я Вас спрашивала, кто такие $a_1,b_1,c_1$, но ответа не получила.