Разложение по модулированным осцилляторам вместо Фурье

[Munin]

g______d в сообщении #1168404 писал(а):

Нелинейные интегрируемые уравнения.

А, точно!

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Computer Science» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[_hum_]

Munin в сообщении #1168390 писал(а):

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

В связи с этим спрашивается, почему такой подход нигде широко не освещен?

Широко освещён. Keywords солитоны, нелинейные уравнения, МОЗР. Куча книжек.

Я имею в виду не в спец. литературе, а в широких кругах (в той же радиотехнике). Можете дать ссылку, например, в wiki, где бы о спектральном анализе нестационарных сигналов с помощью таких преобразований говорилось бы?

g______d в сообщении #1168404 писал(а):

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

А можно все-таки конкретный пример такого преобразования

Разложение по ортогональным полиномам. Или функции Эрмита. В этих примерах одна из букв дискретная. Если хотите обе непрерывные, то, например, преобразование Фурье-Бесселя.

Ага, уже похоже. Но в связи с этим возникает вопрос - если ортогональных базисов "осцилляторного характера" множество, то, может быть, есть самый общий, позволяющий аппроксимировать любой другой (ну, типа, является решением самого общего интегрируемого уравнения колебания)? Чтобы можно было как-то понять, какой резоннее всего выбрать при единственной априорной информации, что сигнал физического происхождения.

g______d в сообщении #1168404 писал(а):

Но ваш случай с гауссовым весом какой-то странный. Утверждается, что это ортогональный базис. В случае с синусами оно так и есть, они не убывают на бесконечности и ортогональны друг другу в обобщённом смысле; в этой ситуации может быть континуальное семейство обобщённо ортогональных функций.

В случае с гауссовым весом они принадлежат $L^2(\mathbb R)$, поэтому ортогональность должна подразумеваться в обычном смысле. Но континуального семейства функций, ортогональных в обычном смысле, быть не может (пространство сепарабельно).

Это наверное непринципиально (несчетность) - можно и по дискретной мере.

[B@R5uk]

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

Для них вместо гармоники естественнее рассматривать "модулированную гармонику".

Подавляющее большинство музыкальных сигналов состоят из таких модулированных по фазе и амплитуде гармоник. В своё время сам до этого допёр в своих бесконечных попытках сделать анализ/сжатие музыки (компьютерное разложение на ноты по фонограмме).

Этот подход имеет две очень большие практические проблемы:
1) неоднозначность представления.
2) скорость счёта.

Со вторым понятно: за частую периодичность видна только на больших участках (взять тот же голос, например, или басовые ноты в фонограмме). Поэтому надо обрабатывать разом здоровенные куски. Да, есть такие вейвлеты, которые считаются рекуррентно, и выдают что-то похожее на низкочастотную и высокочастотную части. Но для анализа звука такое подходит плохо (может я просто плохо искал нужные мне вейвлеты). Другие же вейвлеты (с базисом в виде гаусса, помноженного на синус и косинус), с одной стороны то, что надо, а с другой ну очень медленно считаются. Так что всё равно приходится обращаться к быстрому преобразованию Фурье. Он пережёвывает гигантские временные отрезки данных за разумное время. Разумеется, приходится накладывать всевозможные окна, бороться со всякого рода призвуками в обработке. И что меня как перфекциониста больше всего раздражает, результат обработки зависит от того, какого размера окно, и выбора начала отсчёта. Другими словами, если в начало вставить пачку нулей, а после обработки выкинуть вставленное количество семплов, то результат будет отличаться от того, что получится, если ничего не вставлять, не выкидывать.

А неоднозначность представления, это просто: мы можем сместить базовую частоту гармоники, а скомпенсировать это дрейфом фазы. И что ещё хуже, зачастую нет никакой возможности сказать какая частота несмещённая, а какая смещённая. Это интуитивно понятно, если взять какой-нибудь чирп-сигнал.

В общем подход прекрасный, но над технической стороной работать и работать. Математики — люди замороченные, им бы лишь бы существование, да единственность, работать по существу не хотят. Так что на практике кто как может, так и выкручивается. Преобразование Гильберта — Хуанга вон придумали, хотя оно не обладает устойчивостью по итерациям и математической основы под собой никакой не содержит, но люди пользуются и что-то там получают.

[_hum_]

B@R5uk в сообщении #1168472 писал(а):

Этот подход имеет две очень большие практические проблемы

А если закрыть пока глаза на практику, то что за теория позволяет делать такие разложения (какое именно преобразование)?

B@R5uk в сообщении #1168472 писал(а):

А неоднозначность представления, это просто: мы можем сместить базовую частоту гармоники, а скомпенсировать это дрейфом фазы. И что ещё хуже, зачастую нет никакой возможности сказать какая частота несмещённая, а какая смещённая. Это интуитивно понятно, если взять какой-нибудь чирп-сигнал.

Если фаза будет так же быстро дрейфовать, как частота, то да, но если медленно (как при фазовой модуляции), то все однозначно определяется (см. аналитический сигнал и Bedrosian's theorem).

[B@R5uk]

_hum_ в сообщении #1168474 писал(а):

А если закрыть пока глаза на практику, то что за теория позволяет делать такие разложения (какое именно преобразование)?

Нельзя закрывать глаза на практику. Именно практика является критерием полезности теории. А так, сам бы хотел бы знать, какая теория позволяет строить в лоб такие представления (заметьте! не разложения, а именно представления, потому что разложение делается по фиксированному базису, а то что вы хотите сделать — это совсем другое). Надеюсь корифеи-математики тут подскажут, в каком направлении двигаться.