Разложение по модулированным осцилляторам вместо Фурье

[_hum_]

Недавно натолкнулся на такую интересную мысль: Фурье-анализ хорошо работает, потому что в мире много сигналов порождается как результат суперпозиции стационарных колебаний линейных систем, а значит, обычные гармоники является естественным базисом для разложения сигнала.
Но! В мире гораздо больше колебательных систем с нелинейностью (например, диссипацией). Для них вместо гармоники естественнее рассматривать "модулированную гармонику".

По-моему, очень здравая мысль. В связи с этим спрашивается, почему такой подход нигде широко не освещен? Я только встретил "краем уха" следующее:

Цитата:

Priestley suggested that an arbitrary nonstationary signal $s(t)$ can be represented as

$$ s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\gamma_t(f) S ( f ) d f \quad (32)$$

where

$$\gamma_t(f) = A_t ( f )e^{j2\pi f t} \quad (33).$$

BOASHASH: INSTANTANEOUS FREQUENCY OF SIGNAL PART 1 523

[Утундрий]

Наверное потому, что здесь нет какой-то хорошей теории, а всё больше ситуационно да самолепно.

[_hum_]

Утундрий в сообщении #1168085 писал(а):

Наверное потому, что здесь нет какой-то хорошей теории, а всё больше ситуационно да самолепно.

а почему нет теории, почему этим серьезно не занимаются?

[Утундрий]

Банально из-за нелинейности. Принципа суперпозиции нет и всё равно приходится рассматривать систему этих ваших как-то там модулированных гармоник, а не каждую по отдельности. Иногда получается нечто более-менее диагонально преобладающее и тогда взаимодействием можно пренебречь. Но такое случается не систематично и сильно в зависимости от ситуации, что не позволяет предполагать существование общего метода.

[Евгений Машеров]

Общей теории, сравнимой с развитой для линейного случая, нет потому, что ситуация намного сложнее. Вообще, линейность это "фонарь, по которым ищем, поскольку не под фонарём ничего не найдётся". $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и $f(kx)=kf(x)$ это "можно рассматривать явление, разъяв на части и пренебрегая взаимодействием частей" и "размер не имеет значения". При нелинейности происходит резкое усложнение.
Но для частных случаев есть нечто, подходящее под Ваш запрос. Скажем, вейвлеты это, в некотором роде, "модулированные гармоники", а представление через мгновенные частоты, переменные, вместе с амплитудой, во времени, это преобразование Гильберта и основанное на нём преобразование Гильберта-Хуанга для широкополосных сигналов.

[Утундрий]

А какие у него цели? Создание общей теории, не менее! Вейвлеты тоже бывают разные и по-разному подходящие к проблеме. Скажем, если есть основания предполагать различные физики на разных частотах, то стоит присмотреться в функциям Литтлвуда-Пели. Но все такие "рекомендации" суть не более чем обобщение результатов слепого тыканья. Система будет когда-нибудь сильно тому вперёд, а сейчас трудновато вообразить, за счёт чего здесь возможен прогресс. Может быть, будет что-то очень простое, но невпихуемое в закостеневшие мозги? Так время сей прискорбный недостаток излечит.

[arseniiv]

Я что-то плохо прочитал первый пост и не увидел, где там нелинейность. И вообще, теорема о свёртке позволит вместо гармоник $f_\omega(t) = e^{i\omega t}$ пользоваться «гармониками» $f_\omega g$ или $f_\omega * g$, где $g$, правда, фиксирована.

[_hum_]

Утундрий в сообщении #1168090 писал(а):

Банально из-за нелинейности. Принципа суперпозиции нет и всё равно приходится рассматривать систему этих ваших как-то там модулированных гармоник, а не каждую по отдельности.

Там все линейно, ибо это разложение по базису. Просто базис выбран не гармонический.

Евгений Машеров в сообщении #1168114 писал(а):

Общей теории, сравнимой с развитой для линейного случая, нет потому, что ситуация намного сложнее. Вообще, линейность это "фонарь, по которым ищем, поскольку не под фонарём ничего не найдётся". $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и $f(kx)=kf(x)$ это "можно рассматривать явление, разъяв на части и пренебрегая взаимодействием частей" и "размер не имеет значения". При нелинейности происходит резкое усложнение.

Вы про нелинейность, порождающую составляющие сигнала, или про нелинейность в самой операции составления полного сигнала из компонент? Если последнее, то ее нет. Если первое, то не совсем понятен смысл сказанного - вы имеете в виду, что модулированные колебания не являются решениями большинства нелинейны колебательных систем, и потому от них такой же прок, как от вейвлетов (будут годны только там, где есть априорные сведения, что в сигнале содержатся квазигармоники)?

Евгений Машеров в сообщении #1168114 писал(а):

Общей теории, сравнимой с развитой для линейного случая, нет потому, что ситуация намного сложнее. Вообще, линейность это "фонарь, по которым ищем, поскольку не под фонарём ничего не найдётся".
Но для частных случаев есть нечто, подходящее под Ваш запрос. Скажем, вейвлеты это, в некотором роде, "модулированные гармоники", а представление через мгновенные частоты, переменные, вместе с амплитудой, во времени, это преобразование Гильберта и основанное на нём преобразование Гильберта-Хуанга для широкополосных сигналов.

Вейвлеты берутся "от балды". Они в большинстве случаев нефизичны (их сложно содержательно интерпретировать). Преобразование Гильберта не совсем то - там нет разложения на составляющие,а просто попытка представить сигнал в виде квазигармонического (если речь про аналитический сигнал). Преобразование Гильберта-Хуанга в первой своей части с просеиванием не совсем для меня имеет содержательный смысл. Да и сами авторы говорят, что оно эмпирическое. К тому же подходит только для специальных функций.

arseniiv в сообщении #1168122 писал(а):

Я что-то плохо прочитал первый пост и не увидел, где там нелинейность. И вообще, теорема о свёртке позволит вместо гармоник $f_\omega(t) = e^{i\omega t}$ пользоваться «гармониками» $f_\omega g$ или $f_\omega * g$, где $g$, правда, фиксирована.

Вот-вот.

[profrotter]

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

вместо гармоники естественнее рассматривать "модулированную гармонику".

Вот здесь скрылась [физическая] неаргументированность и голословность. Всему естественному вообще всё равно, какой базис мы выбираем для математического описания сигнала. Это вопрос удобства при решении конкретной задачи (класса задач).

[g______d]

Указанный класс преобразований очень даже рассматривался.

Например, Березанский, "Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов".

Ну или

https://en.wikipedia.org/wiki/Oscillatory_integral

Или любой учебник по псевдодифференциальным операторам.

Тут нужны правильные ожидания. Ряды Фурье/преобразования Фурье хороши тем, что переводят дифференцирование в умножение на независимую переменную. Соответственно, если сигнал является решением линейного ДУ с постоянными коэффициентами, то преобразование Фурье переведёт это уравнение в алгебраическое уравнение, соответственно, потом его проще решать, потому что разные гармоники рассматриваются независимо (оператор диагонализуется).

Указанные ссылки -- это то, что будет, если уравнение линейное, но коэффициенты переменные. В этом случае как раз указанные преобразования, или похожие, будут играть роль преобразования Фурье.

О том, как решать нелинейные уравнения линейными преобразованиями, никакой общей теории нет и, скорее всего, быть не может. Разве что какие-то такие преобразования могут преобразовать сильную нелинейность в слабую нелинейность, которой можно потом пренебречь.

[Pavia]

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

Недавно натолкнулся на такую интересную мысль: Фурье-анализ хорошо работает, потому что в мире много сигналов порождается как результат суперпозиции стационарных колебаний линейных систем, а значит, обычные гармоники является естественным базисом для разложения сигнала.

Неправильная мысль. Тут нет физики, а только математика. Поэтому говорить что в миру не верно...

У меня есть хорошая аналогия вот делаем мы торт

Он изначально состоит из цельных неделимых слое.


Но разрезать его мы можем как хотим, можем на сектора можем и квадратиками.


Так вот если мы положим 8 клубничек и разрежем на 8 кусочков. То мы увидим закономерность что в каждом кусочке 1 клубничка.
Но разве из этого следует что торит состоит из клубничек? Очевидно, что нет.

Так и сигналы не состоят из гармоник, но они на них раскладываются.

Цитата:

Фурье-анализ хорошо работает

Он работает плохо. Просто за лесом деревьев не видно. Мы не хотим замечать, что он работает плохо
Взять тот же торт с примера там черника разложена как попала, поэтому на последнем изображении внутри кусочка справа мы видим их 3, а с лева 2.
Поэтому мы имеем шумы, растекание спектра, щелчки при склейки и окна. Без основательная сепарабельность Дифференцируем там где нельзя.
Не периодический сигнал считаем периодическим - Фурье работает только с периодическими сигналами.

Так почему мы применяем Фурье?
1) Это попытка взглянуть на задачу в другом разрезе. Что бывает полезно мы узнали о собственных частотах о резонансе который приводит к разрушению зданий.
Единичный импульс размазывается на бесконечность, а бесконечные процессы напротив собираются в точку, становятся гармониками.
2) Для ряда задач этот математический аппарат ускоряет и упрощает решения. В вычислительной технике любя Фурье, так как для него проработаны быстрые алгоритм БПФ. Когда как для других их ещё придётся изобрести или они и вовсе отсутствую.

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

В связи с этим спрашивается, почему такой подход нигде широко не освещен?

В вей-влетах оно широко рассмотрено.

_hum_ в сообщении #1168246 писал(а):

Вейвлеты берутся "от балды". Они в большинстве случаев нефизичны (их сложно содержательно интерпретировать).

Сложность скорее из-за непривычности. Гармоники, частоты и волны вы ещё в школе проходите и привыкли. А что если я вам скажу, что они не физичны? Просто подумайте над этим. Не хочу уводить тему в сторону, поэтому прошу не комментировать.
Что касается физичности. Не стоит бояться нового, того что не принято у других. Только не забывайте строить мостики между тем что изобретёте, откроете, придумаете и между тем что уже существует.
Применительно к вейвлетам возьмите существующие физические формулы и когда будете делать преобразованиях, то следите за размереностями величин.
К примеру нельзя складывать м и м/с - это координата и скорость. Их можно только поделить и иногда перемножить. Или сахар можно раскладывать по чашкам, но чашке нельзя раскладывать по сахару. Ибо чашки неделимы, а сахар мы можем разделить щипчиками.

[_hum_]

profrotter в сообщении #1168268 писал(а):

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

вместо гармоники естественнее рассматривать "модулированную гармонику".

Вот здесь скрылась [физическая] неаргументированность и голословность. Всему естественному вообще всё равно, какой базис мы выбираем для математического описания сигнала. Это вопрос удобства при решении конкретной задачи (класса задач).

Речь не о чистой математике, а о прикладных вещах (анализ сигналов)[иначе бы я разместил вопрос в другой ветке]. Есть у вас сигнал от источника, и вам нужно как-то его содержательно проинтерпретировать, чтоб понять закономерности, например.
Когда вы раскладываете по гармоникам, это равносильно тому, что вы рассматриваете источник как набор гармонических осцилляторов, линейно взаимодействующих между собой. Для многих физических систем это так и есть, поскольку в природе часты малые возмущения, приводящие к гармоническим колебаниям, которые затем, в силу вездесущего принципа суперпозиции сил и полей выливаются в наложение гармоник. Естественно напрашивается вопрос - раз в природе часты колебания, то почему бы не взять для разложения еще более часто встречающийся их вариант - модулированные колебания, ведь, например, затухающие колебания - более естественны для природы, чем чисто гармонические. В этом случае нестационарные сигналы можно было бы точно так же естественно интерпретировать как полученные в результате суперпозиции многих осцилляторов, но уже не чисто линейных и стационарных, а со слабой нелинейностью/нестационарностью.
То есть, дать возможность посмотреть через другую призму, как и говорится в той же статье:

Цитата:

Priestley indicated [32] that a nonstationary process in general cannot be represented in a meaningful way by the simple Fourier expansion as described by (5b). For example, consider the nonstationary signal with time-varying amplitude:

$$y(t) = A\cdot e^{-\frac{t^2}{\alpha^2}}cos(2\pi f_0 t + \phi_0). \quad (31)$$

The FT(Fourier Transform) of $y(t)$ consists of two Gaussian functions centered at $f_o$ and $- f_o$ and thus it contains Fourier components at all frequencies. It is possible to use an alternative form for representing $y(t)$: it consists of just two frequency” components (at $f_o$ and $- f_o$), with each component having a time-varying amplitude $A$ . These two representations of $y(t)$ are equally valid. They correspond to different “families” of basic orthogonal functions used for representation. In the former case, the family consists of sines and cosines with constant amplitudes, and in latter case it consists of sines and cosines with time-varying amplitudes.

g______d в сообщении #1168286 писал(а):

Указанный класс преобразований очень даже рассматривался.

Например, Березанский, "Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов".

А можно все-таки конкретный пример такого преобразования, а не общие соображения, как в указанной вами статье? Ну, чтобы конкретно указывались базисные функции, а не "являющиеся решением такого-то уравнения".

Цитата:

Ну или

https://en.wikipedia.org/wiki/Oscillatory_integral

Да. Важная фраза оттуда:

Цитата:

It is possible to represent approximate solution operators for many differential equations as oscillatory integrals.

что говорит о верности идеи, что многие физические сигналы должны в общем случае представляться таким интегралом. Но вопрос-то в том, как, имея сигнал, представить его в виде такого интеграла (чтобы потом по "коэффициентам разложения" проводить анализ о его структуре и особенностях)?

Цитата:

Или любой учебник по псевдодифференциальным операторам.

Тут нужны правильные ожидания. Ряды Фурье/преобразования Фурье хороши тем, что переводят дифференцирование в умножение на независимую переменную. Соответственно, если сигнал является решением линейного ДУ с постоянными коэффициентами, то преобразование Фурье переведёт это уравнение в алгебраическое уравнение, соответственно, потом его проще решать, потому что разные гармоники рассматриваются независимо (оператор диагонализуется).

Указанные ссылки -- это то, что будет, если уравнение линейное, но коэффициенты переменные. В этом случае как раз указанные преобразования, или похожие, будут играть роль преобразования Фурье.

О том, как решать нелинейные уравнения линейными преобразованиями, никакой общей теории нет и, скорее всего, быть не может. Разве что какие-то такие преобразования могут преобразовать сильную нелинейность в слабую нелинейность, которой можно потом пренебречь.

Мой вопрос относится больше к проблеме содержательного "спектрального анализа" нестационарных сигналов, чем к математическим способам решения дифференциальных уравнений (хотя, конечно, связь между этими вопросами есть).

Pavia в сообщении #1168325 писал(а):

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

Недавно натолкнулся на такую интересную мысль: Фурье-анализ хорошо работает, потому что в мире много сигналов порождается как результат суперпозиции стационарных колебаний линейных систем, а значит, обычные гармоники является естественным базисом для разложения сигнала.

Неправильная мысль. Тут нет физики, а только математика. Поэтому говорить что в миру не верно..

То есть, монохроматический свет и разложение белого света призмой - это тоже математическая абстракция? :) ["Не хочу уводить тему в сторону, поэтому прошу не комментировать." (с)]

[Pavia]

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

Когда вы раскладываете по гармоникам, это равносильно тому, что вы рассматриваете источник как набор гармонических осцилляторов, линейно взаимодействующих между собой. Для многих физических систем это так и есть, поскольку в природе часты малые возмущения, приводящие к гармоническим колебаниям, которые затем, в силу вездесущего принципа суперпозиции сил и полей выливаются в наложение гармоник.

Ещё раз. Вы ошибаетесь - это математика. Принцип суперпозиции вводится в математики, вернее в геометрии. Любой вектор можно представить суммой двух-других, притом бесконечным способом. Прямым следствие из этого принципа будет то, что любой сигнал и даже любую постоянную или переменную вы можете разложить бесконечным способом.
$y=x1+x2$
$y=x1+x2+x3$
$y=x1+x2+x3+x4$
...
$y=x1+x2+x3+x4+...$

А вот физика вводит ограничения: запрещает определённые математические действия(операции) или накладывает связи - другими словами физика опередят формулы, уравнения и системы. А вот ваших фразах физики нет.

Большинство сигналов изначально не-гармонические, но это нам не мешает никого не останавливало от разложить их на гармоники. И ввести виртуальные гармонические осцилляторы. Главное никому не говорить что они виртуальные, тогда все будут думать, что это физика.

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

Естественно напрашивается вопрос - раз в природе часты колебания, то почему бы не взять для разложения еще более часто встречающийся их вариант - модулированные колебания, ведь, например, затухающие колебания - более естественны для природы, чем чисто гармонические.

Разложить можно, но нет смысла делать пока нет физики. Затухающие колебания не имеет смысла применять ввиду того, что энергия некуда не девается - закон сохранения энергии. А следовательно мы можем продолжать пользоваться тем же Фурье.

Но таки разложение через затухающие функции есть и в литературе много где описано. Ищите разложение дифференциального уравнения через функцию ошибок Erfc.

Если вы хотите раскладывать на модулированный сигнал вы должны обосновать это с точки зрения физики или найти какие-то ограничения или предпосылки иначе оно не будет отличаться от других разложений(вейвлетов или преобразований Адамара, преобразований Хартли, преобразований Хара). Последние 3 не имеют ничего общего с гармониками.

PS. Но посмотреть под другим углом или в другой плоскости бывает полезно вдруг что-то найдём интересное. Поэтому метод научного тыка никто и не отменяет. Попробовать можно, но в виду того что нет никаких обоснований то тыкаться в бесконечности в поисках зерна можно бесконечное время. Поэтому такой подход нисколько не эффективный.

[Munin]

_hum_ в сообщении #1168082 писал(а):

В связи с этим спрашивается, почему такой подход нигде широко не освещен?

Широко освещён. Keywords солитоны, нелинейные уравнения, МОЗР. Куча книжек.

[g______d]

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

А можно все-таки конкретный пример такого преобразования

Разложение по ортогональным полиномам. Или функции Эрмита. В этих примерах одна из букв дискретная. Если хотите обе непрерывные, то, например, преобразование Фурье-Бесселя.

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

не общие соображения, как в указанной вами статье?

Это книга, а не статья. Конкретные примеры там тоже есть.

_hum_ в сообщении #1168338 писал(а):

Но вопрос-то в том, как, имея сигнал, представить его в виде такого интеграла (чтобы потом по "коэффициентам разложения" проводить анализ о его структуре и особенностях)?

В смысле как выглядит обратное преобразование? Это как раз зависит от происхождения этих функций $\gamma_t$. Если они являются собственными функциями какого-то оператора/уравнения, то там есть соотношение ортогональности (обобщённое), поэтому обратное преобразование выглядит так же, надо только по другой букве интегрировать; пример -- Фурье или Фурье-Бессель (ну или преобразование Ханкеля). Ну или другие интегральные преобразования.

Но ваш случай с гауссовым весом какой-то странный. Утверждается, что это ортогональный базис. В случае с синусами оно так и есть, они не убывают на бесконечности и ортогональны друг другу в обобщённом смысле; в этой ситуации может быть континуальное семейство обобщённо ортогональных функций.

В случае с гауссовым весом они принадлежат $L^2(\mathbb R)$, поэтому ортогональность должна подразумеваться в обычном смысле. Но континуального семейства функций, ортогональных в обычном смысле, быть не может (пространство сепарабельно).

Munin в сообщении #1168390 писал(а):

Широко освещён. Keywords солитоны, нелинейные уравнения, МОЗР. Куча книжек.

Нелинейные интегрируемые уравнения. Примерно как точно решаемые.