Как посчитать диаметр свернутого рулона при известной длине

[e.anisimov]

wrest в сообщении #1167800 писал(а):

e.anisimov в сообщении #1167798 писал(а):

то получается следующее:

$D=\sqrt{{\frac{L \cdot n}\pi}+{\frac d 2}}\cdot 2$

Теперь квадрат потеряли, под корнем :)

-- 10.11.2016, 13:36 --

wrest в сообщении #1167800 писал(а):

$D=\sqrt{{\frac{L \cdot n}\pi}+({\frac d 2})^2}\cdot 2$

Да, теперь верно.

Опять же не понимаю почему результат отличается от результата на сайте http://planetcalc.ru/4530/
При вводе данных $L=5,6; d=0,05; n=0,05$ сайт выдает результат 0,55
При расчете по формуле результат 0,59

[wrest]

e.anisimov в сообщении #1167804 писал(а):

Опять же не понимаю почему результат отличается от результата на сайте

Ну, плюс-минус толщина витка.
У вас же рулон, вообще-то, не имеет форму строго цилиндра, это видно и на вашем рисунке, диаметр будет зависеть от того как померить. Возможно, поэтому.
Ну и с реальностью не сойдется в точности: будет зависеть от того как плотно сможете намотать, насколько мат окажется деформируемым и т.п.

[e.anisimov]

wrest в сообщении #1167808 писал(а):

Ну, плюс-минус толщина витка.
У вас же рулон, вообще-то, не имеет форму строго цилиндра, это видно и на вашем рисунке, диаметр будет зависеть от того как померить. Возможно, поэтому.
Ну и с реальностью не сойдется в точности: будет зависеть от того как плотно сможете намотать, насколько мат окажется деформируемым и т.п.

Ну это понятно, но если на сайте считается наверняка по тем же самым формулам, мне кажется что разница в вычислениях весьма велика.

[Singular]

e.anisimov в сообщении #1167812 писал(а):

Ну это понятно, но если на сайте считается наверняка по тем же самым формулам, мне кажется что разница в вычислениях весьма велика.

Совершенно не факт, что на сайте считается по тем же самым формулам. Здесь можно подойти к решению задачи с другого бока, например, представить свёрнутый рулон как спираль Архимеда с соответствующими параметрами, далее зная длину спирали определить (итерационно) соответствующий угол поворота и перейти к определению необходимого радиуса.

[wrest]

e.anisimov в сообщении #1167812 писал(а):

Ну это понятно, но если на сайте считается наверняка по тем же самым формулам, мне кажется что разница в вычислениях весьма велика.

Я думаю, что на сайте считают по-другому. Скорее всего, там считают целое количество витков и умножают потом толщину ленты (мата) на это количество, прибавляя ко внутреннему радиусу.

[redicka]

Имеется же формула длины архимедовой спирали

[Singular]

Длина спирали Архимеда $r=k\varphi$ определяется выражением
$ L=\frac{k}{2}\left(\varphi\,\ch\left(\operatorname{Arsh}\varphi\right)+\operatorname{Arsh}\varphi\right), $
откуда в явном виде выписать зависимость $\varphi=\varphi\left(L\right)$ не представляется возможным, поэтому только итерации в помощь...

[arseniiv]

redicka
Так всё равно же спираль Архимеда — это тоже приближение, так же не учитывающее

wrest в сообщении #1167808 писал(а):

как плотно сможете намотать, насколько мат окажется деформируемым и т.п.

[vanger]

На stackexchange вопрос поднимался: http://math.stackexchange.com/questions ... oilet-roll

[redicka]

arseniiv в сообщении #1167963 писал(а):

redicka
Так всё равно же спираль Архимеда — это тоже приближение, так же не учитывающее

wrest в сообщении #1167808 писал(а):

как плотно сможете намотать, насколько мат окажется деформируемым и т.п.

[/qu]
Скажем, скатываем стальной лист-он не сжимается.Длину нужно считать по средней линии.
Так что-не приблизительно, а точно.

[arseniiv]

Во-первых, исходно имелся в виду мат, а не железный лист. Во-вторых, конечно, если так аккуратно обработать лист, чтобы его поверхность образовала архимедову спираль, то его поверхность будет образовывать архимедову спираль. В-третьих, «длину нужно считать по средней линии» — вовсе не доказательство даже для этого вашего идеального случая.

[amon]

e.anisimov в сообщении #1167736 писал(а):

Находил формулу вида:
$L = \pi \cdot \frac{((R-r)^2)}{n}$

У меня другая получается.

[wrest]

redicka в сообщении #1167970 писал(а):

Так что-не приблизительно, а точно.

Еще надо учесть, что мат наматывается не с нуля, а на какой-то вал (внутренний диаметр $d$), этот нюанс дополнительно усложнит формулу.

Впрочем, если вы покажете, что спираль Архимеда дает более точный результат (с учетом наматывания не с нуля), и эта разница существенна (в среднем больше одного витка), было бы неплохо глянуть на ваш расчет.

[Soul Friend]

wrest в сообщении #1167825 писал(а):

Я думаю, что на сайте считают по-другому. Скорее всего, там считают целое количество витков и умножают потом толщину ленты (мата) на это количество, прибавляя ко внутреннему радиусу.

нарисовал в течении пол минуты формулу по такому же алгоритму, получилось ровно $D=0,55$ , так что, скорее вы правы.

[Singular]

С архимедовой спиралью получается другой ответ
Приведу последовательность расчёта, может быть что-то упустил - поправьте.
1) Радиус-вектор с учётом наматывания на внутренний вал $r=k\varphi+\frac{1}{2}d$, откуда
$r_0=r\left(\varphi=0\right)=\frac{1}{2}d$
$r_1=r\left(\varphi=2\pi\right)=2\pi k+\frac{1}{2}d$
2) После одного витка разница между значениями радиус-векторов должна быть равна толщине $n=r_1-r_0=2\pi k$, отсюда $k=\frac{n}{2\pi}$.
3) Длина спирали
$L=\int\limits_{r_0}^{r_{\max}}\sqrt{1+\frac{r^2}{k^2}}dr=\left|\xi=2\operatorname{Arsh}\frac{r}{k};\,\frac{r}{k}=\sh\frac{\xi}{2}\right|=$
$=\frac{k}{4}\left[\sh\xi+\xi\right]_{\xi_0}^{\xi_{\max}}=\left|\xi_0=2\operatorname{Arsh}\left(\pi\frac{d}{n}\right)\right| =\frac{n}{8\pi}\left(\sh\xi_{\max}+\xi_{\max}-\sh\xi_0-\xi_0\right)$
4) Трансцендентное уравнение относительно $\xi_{\max}$
$\sh\xi_{\max}+\xi_{\max}=8\pi\frac{L}{n}+\sh\xi_0+\xi_0$
5) Каким-нибудь итерационным методом определяем $\xi_{\max}$
6) Внешний диаметр $D=2r_{\max}+n=n\left(1+\frac{1}{\pi}\sh\frac{\xi_{\max}}{2}\right)$
7) При заданных значениях $L=5.6;\,d=0.05;\,n=0.05$ получим $\xi_{\max}=8.6414\ldots$ и, наконец, $D=0.649$