Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.

[Феликс Шмидель]

Из (17) следует:

(18) $(b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \ge N(w^2+b_3 w+b_1)$

Я ещё не придумал, что делать дальше.
Приведём пока вычисление коэффициентов $b_4, b_3, b_2, b_1, b_0$ в программе "Reduce".

load_package polydiv;
v0:=a0+a1*g+a2*g^2+a3*g^3+a4*g^4;
v1:=a0+a1*g*i5+a2*g^2*i5^2+a3*g^3*i5^3+a4*g^4*i5^4;
v2:=a0+a1*g*i5^2+a2*g^2*i5^4+a3*g^3*i5^6+a4*g^4*i5^8;
v3:=a0+a1*g*i5^3+a2*g^2*i5^6+a3*g^3*i5^9+a4*g^4*i5^12;
v4:=a0+a1*g*i5^4+a2*g^2*i5^8+a3*g^3*i5^12+a4*g^4*i5^16;

s1:=v0+v1+v2+v3+v4;
s1:=(s1 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s2:=v0^2+v1^2+v2^2+v3^2+v4^2;
s2:=(s2 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s3:=v0^3+v1^3+v2^3+v3^3+v4^3;
s3:=(s3 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s4:=v0^4+v1^4+v2^4+v3^4+v4^4;
s4:=(s4 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
s5:=v0^5+v1^5+v2^5+v3^5+v4^5;
s5:=(s5 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

e0:=1;
e1:=s1;
e2:=(e1*s1-s2)/2;
e2:=(e2 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e3:=(e2*s1-e1*s2+s3)/3;
e3:=(e3 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e4:=(e3*s1-e2*s2+e1*s3-s4)/4;
e4:=(e4 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);
e5:=(e4*s1-e3*s2+e2*s3-e1*s4+s5)/5;
e5:=(e5 mod (g^5-2)) mod (i5^4+i5^3+i5^2+i5+1);

b4:=e1;
b3:=e2;
b2:=e3;
b1:=e4;
b0:=e5;

Сравнивая с результатом, полученным ранее, я увидел опечатку, должно быть:

$b_2=10 (a_0^3-3 a_0 a_1 a_4-3 a_0 a_2 a_3+a_1^2 a_3+a_1 a_2^2+2 a_2 a_4^2+2 a_3^2 a_4)$.

Приведём значения $b_1$ и $b_0$.

$b_1=5 (a_0^4-6 a_0^2 a_1 a_4-6 a_0^2 a_2 a_3+4 a_0 a_1^2 a_3+4 a_0 a_1 a_2^2+8 a_0 a_2 a_4^2+8 a_0 a_3^2 a_4-2 a_3^2 a_2+4 a_1^2 a_4^2-4 a_1 a_2 a_3 a_4-4 a_1 a_3^3-4 a_2^3 a_4+4 a_2^2 a_3^2-8 a_3 a_4^3)$

$b_0=a_0^5-10 a_0^3 a_1 a_4-10 a_0^3 a_2 a_3+10 a_0^2 a_1^2 a_3+10 a_0^2 a_1 a_2^2+20 a_0^2 a_2 a_4^2+20 a_0^2 a_3^2 a_4-10 a_0 a_1^3 a_2+20 a_0 a_1^2 a_4^2-20 a_0 a_1 a_2 a_3 a_4-20 a_0 a_1 a_3^3-20 a_0 a_2^3 a_4+20 a_0 a_2^2 a_3^2-40 a_0 a_3 a_4^3+2 a_1^5-20 a_1^3 a_3 a_4+20 a_1^2 a_2^2 a_4+20 a_1^2 a_2 a_3^2-20 a_1 a_2^3 a_3-40 a_1 a_2 a_4^3+40 a_1 a_3^2 a_4^2+4 a_2^5+40 a_2^2 a_3 a_4^2-40 a_2 a_3^3 a_4+8 a_3^5+16 a_4^5$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим (18), должно быть:

(18) $\lvert (b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \rvert \ge \lvert N(w^2+b_3 w+b_1) \rvert$

Вычислим теперь $N(w^2+b_3 w+b_1)$ в программе "Sage" (в программе "Reduce" не получилось).

z, x, y, g, i5, b3, b1=var('z, x, y, g, i5, b3, b1');
w0=z^2-x*y*g^2;
w1=z^2-x*y*g^2*i5^2;
w2=z^2-x*y*g^2*i5^4;
w3=z^2-x*y*g^2*i5^6;
w4=z^2-x*y*g^2*i5^8;
N0=(w0^2+b3*w0+b1)*(w1^2+b3*w1+b1)*(w2^2+b3*w2+b1)*(w3^2+b3*w3+b1)*(w4^2+b3*w4+b1); N0;
N1,R=N0.maxima_methods().divide(g^5-2); R
N2, R1=R.maxima_methods().divide(i5^4+i5^3+i5^2+i5+1); R1;

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Выразим теперь $N(w^2+b_3 w+b_1)$ через коэффициенты $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$.

a0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a3^2*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим опечатку, должно быть:

$b_1=5 (a_0^4-6 a_0^2 a_1 a_4-6 a_0^2 a_2 a_3+4 a_0 a_1^2 a_3+4 a_0 a_1 a_2^2+8 a_0 a_2 a_4^2+8 a_0 a_3^2 a_4-2 a_1^3 a_2+4 a_1^2 a_4^2-4 a_1 a_2 a_3 a_4-4 a_1 a_3^3-4 a_2^3 a_4+4 a_2^2 a_3^2-8 a_3 a_4^3)$

В соответствии с этим исправим код предыдущего сообщения:

0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a1^3*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим ещё раз (должно начинаться с a0):

a0, a1, a2, a3, a4=var('a0, a1, a2, a3, a4');
b4=5*a0;
b3=10*(a0^2-a1*a4-a2*a3);
b2=10*(a0^3-3*a0*a1*a4-3*a0*a2*a3+a1^2*a3+a1*a2^2+2*a2*a4^2+2*a3^2*a4);
b1=5*(a0^4-6*a0^2*a1*a4-6*a0^2*a2*a3+4*a0*a1^2*a3+4*a0*a1*a2^2+8*a0*a2*a4^2+8*a0*a3^2*a4-2*a1^3*a2+4*a1^2*a4^2-4*a1*a2*a3*a4-4*a1* a3^3-4*a2^3*a4+4*a2^2*a3^2-8*a3*a4^3);
z2=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a4;
xy=a1^2+2*a0*a2+4*a3*a4;

R1=16*xy^10 + z2^10 + 5*b3*z2^9 + 5*(2*b3^2 + b1)*z2^8 + 10*(b3^3 + 2*b1*b3)*z2^7 + 5*(b3^4 + 6*b1*b3^2 + 2*b1^2)*z2^6 - 4*(b3^5 - 5*b1*b3^3 + 5*b1^2*b3)*xy^5 - (8*xy^5 - b3^5 - 20*b1*b3^3 - 30*b1^2*b3)*z2^5 - 5*(4*b3*xy^5 - b1*b3^4 - 6*b1^2*b3^2 - 2*b1^3)*z2^4 - 10*(4*(b3^2 - 2*b1)*xy^5 - b1^2*b3^3 - 2*b1^3*b3)*z2^3 + b1^5 - 5*(8*(b3^3 - 3*b1*b3)*xy^5 - 2*b1^3*b3^2 - b1^4)*z2^2 - 5*(4*(b3^4 - 4*b1*b3^2 + 2*b1^2)*xy^5 - b1^4*b3)*z2; R1;

[Феликс Шмидель]

Если подставить $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$ вместо $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ в $R_1$, должно получиться число, равное нулю с большой степенью точности, иначе неравенство (18) невозможно.

Вычислим коэффициенты $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$ для 999 значений числа $\sqrt{1-U}$, где $U$ меняется от 0 до 1.

Вычислим также $b_3, b_1, R_1$.

10   for I=1 to 999
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150 B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1-R2,
 1000   next I

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Эта программа на "Ubasic" даёт большие положительные числа, и вовсе не ноль, что показывает невозможность неравенства (18).

Для завершения доказательства ВТФ для $n=5$, осталось рассмотреть ещё случай, когда $x y$ имеет с $w^2+b_3 w+b_1$ общие делители.

Нужно также проверить нет ли ошибок.

[Феликс Шмидель]

Общий делитель числа $w^2+b_3 w+b_1$ и сопряжённых с ним обязательно делит $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$.
Это не следует сразу из (15), потому что числа $b_0-b_1 b_4$ и $b_2-b_3 b_4$ могут делиться на этот общий делитель.
Но $(w^2+b_3 w+b_1)-(w_1^2+b_3 w_1+b_1)=(w-w_1) (w+w_1+b_3)$, и $(w^2+b_3 w+b_1)-(w_2^2+b_3 w_2+b_1)=(w-w_2) (w+w_2+b_3)$, где $w_1, w_2$ - сопряжённые с $w$ числа.
Если числа $w^2+b_3 w+b_1, w_1^2+b_3 w_1+b_1, w_2^2+b_3 w_2+b_1$ делятся на общий делитель (идеал) $I$, не имеющий с $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$ общих делителей, то числа $w+w_1+b_3, w+w_2+b_3$ делятся на $I$, из чего следует, что $w_1-w_2$ делится на $I$, но это возможно только если $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$ делится на $I$.

Покажем в оффтопике, что $x y$ и $w^2+b_3 w+b_1$ могут иметь общие делители.

(Оффтоп)

Предположим, что $x y$ делится на простой идеал $\rho$ поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$.
Число $v$ и сопряжённые с ним сравнимы с $z$ или с $-z$, и количество минусов может быть: $0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Вычислим с чем сравнимы коэффициенты $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ по модулю идеала $\rho$ в каждом из этих случаев.
Сделаем это, представляя эти коэффициенты элементарными симметрическими многочленами.

Случай $0$ минусов: $b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv 5 z^4, b_2 \equiv 10 z^3, b_3 \equiv 10 z^2, b_4 \equiv 5 z \mod \rho$.
Случай $1$ минус: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv -3 z^4, b_2 \equiv -2 z^3, b_3 \equiv 2 z^2, b_4 \equiv 3 z \mod \rho$.
Случай $2$ минуса: [mat-h]$b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv z^4, b_2 \equiv -2 z^3, b_3 \equiv -2 z^2, b_4 \equiv z \mod \rho$[/math].
Случай $3$ минуса: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv z^4, b_2 \equiv 2 z^3, b_3 \equiv -2 z^2, b_4 \equiv -z \mod \rho$.
Случай $4$ минуса: $b_0 \equiv z^5, b_1 \equiv -3 z^4, b_2 \equiv 2 z^3, b_3 \equiv 2 z^2, b_4 \equiv -3 z \mod \rho$.
Случай $5$ минусов: $b_0 \equiv -z^5, b_1 \equiv 5 z^4, b_2 \equiv -10 z^3, b_3 \equiv 10 z^2, b_4 \equiv -5 z \mod \rho$.

Случай $0$ минусов: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 16 z^4, b_0-b_1 b_4 \equiv -24 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv -40 z^3 \mod \rho$.
Случай $1$ минус: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 8 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv -8 z^3 \mod \rho$.
Случай $2$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 0, b_2-b_3 b_4 \equiv 0 \mod \rho$.
Случай $3$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv 0, b_2-b_3 b_4 \equiv 0 \mod \rho$.
Случай $4$ минуса: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 0, b_0-b_1 b_4 \equiv -8 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv 8 z^3 \mod \rho$.
Случай $5$ минусов: $w^2+b_3 w+b_1 \equiv 16 z^4, b_0-b_1 b_4 \equiv 24 z^5, b_2-b_3 b_4 \equiv 40 z^3 \mod \rho$.

Мы видим, что в случаях $1, 2, 3, 4$ минусов, $x y$ и $w^2+b_3 w+b_1$ делятся на $\rho$.
Что и требовалось.

Таким образом, невозможность неравенства (18) не доказывает ВТФ для $n=5$.

Можно попробовать доказать невозможность неравенства:

(19) $z^{10} \lvert (b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2 \rvert \ge \lvert N(w^2+b_3 w+b_1) \rvert$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я увидел ошибку в коде, которая не влияет отрицательно на результат.
Мне пришлось разделить выражение $R_1$ на 2 части, поскольку оно не умещалось на одной строке в "Ubasic".
Я сделал это неправильно.
Исправим эту ошибку.

10   for I=1 to 999
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150 B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
1000   next I

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Приведём код для проверки неравенства (19).

10   for I=1 to 1000
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
  210   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  220   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  230   B0=B00+B01
  240   B4=B4=5*A0
  250   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  260   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  270   print L1
 1000   next I

Исполнение программы показывает, что неравенство (19) верно.
Проверяем нет ли ошибок и доказывает ли это ВТФ для $n=5$.

[Феликс Шмидель]

Объясняю, почему в программе на строке 260 нет множителя $z^{10}$.
Мы показали что правая часть без этого множителя меньше левой части, при условии, что вместо коэффициентов $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ подставлены значения $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$. При умножении этого неравенства на $z^{20}$ значения коэффициентов восстанавливаются, и в левой части появляется множитель $z^{10}$.

Я увидел изъян в другом.
Его содержит рассуждение, показывающее, что общий делитель числа $w^2+b_3 w+b_1$ и сопряжённых с ним обязательно делит $x y \sqrt[n] {4} (i_n-1)$.
Числа $w^2+b_3 w+b_1$ и $w_1^2+b_3 w_1+b_1$ могут делиться на идеал $I_1$, а $w^2+b_3 w+b_1$ и $w_2^2+b_3 w_2+b_1$ на идеал $I_2$, не имеющий с $I_1$ общих множителей.
Так что, пока я сомневаюсь, что невозможность неравенства (19) доказывает ВТФ для $n=5$.
Я продолжаю над этим думать.

[Феликс Шмидель]

Исправим неточность в последнем сообщении, должно быть:

Мы показали, что левая часть неравенства (19) без этого множителя меньше правой части, при условии, что вместо коэффициентов $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ подставлены значения $a_0/z, a_1/z, a_2/z, a_3/z, a_4/z$. При умножении этого неравенства на $z^{20}$ значения коэффициентов восстанавливаются, и в левой части появляется множитель $z^{10}$.

[Феликс Шмидель]

Исправим неточность в коде на строке 240.
Она изменила результат, но не изменила его принципиально.

10   for I=1 to 1000
   20   U=I/1000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
   98   G=2^(1/5)
  100   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  110   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  120   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  130   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  140   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  150   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  160   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  170   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  180   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  190   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  200   print R1+R2,
  210   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  220   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  230   B0=B00+B01
  240   B4=5*A0
  250   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  260   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  270   print L1
1000   next I

[Феликс Шмидель]

Исправим ещё одну неточность.
Я написал: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) верно".
Должно быть: "Исполнение программы показывает, что неравенство (19) невозможно".

Мы обосновали неравенство (19), но наше рассуждение содержало изъян.
Обоснуем это неравенство другим способом, разложив многочлен $w^2+b_3 w+b_1$ на множители $(w-t_1)(w-t_2)$, где $t_1, t_2$ - его корни.
Эти корни могут быть действительные или комплексные, нам это не важно.
Будем работать с полем $\mathbb{Q}[t_1, \sqrt[n]{2}]$.
В этом поле (точнее в его кольце целых алгебраических чисел) выполняются следующие утверждения:

(20) $(b_2-b_3 b_4) w+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_1$ и

(30) $(b_2-b_3 b_4) w+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_2$.

Эти утверждения следуют из (14).

Из (20) следует:

(21) $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_1$.

Из (21) следует:

(22) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4))$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)$,

где $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_1)=(w-t_1) (w_1-t_1)(w_2-t_1)(w_3-t_1)(w_4-t_1)$, $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ - сопряжённые числа.

Здесь уже не возникает трудностей с обоснованием, поскольку если $w-t_1$ и $w_1-t_1$ имеют общий делитель (идеал), то $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ делится на этот идеал.
Пусть $\rho_1$ - какой-либо простой идеал, делящий $x y \sqrt[n]{4} (i_n-1)$ и входящий в разложение этого числа со степенью $m_1$.
Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$.
В произведение 5-ти чисел, идеал $\rho_1$ входит со степенью не больше $m_2+4 m_1$.
Из этого следует (22).

Из (30) следует:

(31) $(b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4)$ делится на $w-t_2$.

Из (31) следует:

(32) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^4 ((b_2-b_3 b_4) t_2+(b_0-b_1 b_4))$ делится на $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)$,

где $N_{\sqrt[n]{2}}(w-t_2)=(w-t_2) (w_1-t_2)(w_2-t_2)(w_3-t_2)(w_4-t_2)$, $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ - сопряжённые числа.

Умножая сравнения (22) и (32) получим:

(33) $(x y \sqrt[n]{4} (i_n-1))^8 ((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$ делится на $N(w^2+b_3 w+b_1)$

Неравенство (19) следует из утверждения (33).
Получается из него следует даже более сильное неравенство, но нам оказалось достаточно и это.

Таким образом, мы, возможно, доказали ВТФ для $n=5$.
Проверяем.

[Феликс Шмидель]

Исправим неточность.
Я написал:
"Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w, w_1, w_2, w_3, w_4$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$."

Должно быть:
"Тогда $\rho_1$ входит в разложение 4-ёх из 5-ти сопряжённых чисел $w-t_1, w_1-t_1, w_2-t_1, w_3-t_1, w_4-t_1$ со степенью не больше $m_1$, а в одно из этих 5-ти чисел - со степенью, скажем, $m_2$, которая не больше чем в разложении числа $(b_2-b_3 b_4) t_1+(b_0-b_1 b_4)$."