Лоран Шварц-"Анализ"

[GOLOTOPAXPOP]

Здравствуйте!
Что думаете об этом учебнике? Насколько он соответствует современного состоянию дел?
Выглядит куда интереснее современных учебников, например, "Математического анализа" В.Зорича.

Слышал мнение, что этот учебник "устарел". Так ли это? Естественно, предлагается оценивать учебник как пособие для студентов-математиков ("чистых" математиков, если применять западную терминологию, то есть не инженеров, не физиков, не экономистов и не прикладных математиков в целом).

[Brukvalub]

Это очень хороший учебник, но научиться по нему применять мат.анализ почти невозможно. Иначе говоря, это "вещь в себе".

[GOLOTOPAXPOP]

Brukvalub в сообщении #1166124 писал(а):

Это очень хороший учебник, но научиться по нему применять мат.анализ почти невозможно. Иначе говоря, это "вещь в себе".

Спасибо за ответ!
Если не трудно, можете подробнее написать, что значит "применять мат.анализ"? Просто под этим можно многое понимать.
Например, физики применяют "мат. анализ"(если точнее, то "calculus" по западной терминологии, то есть классическое дифференциальное и интегральное исчисление $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ или $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$). Сам Лоран Шварц считал, что его учебник подойдет и физикам, но, наверное, уже тем, кто знает "calculus".
Но то же самое можно сказать и про дифференциальных геометров и топологов, занимающихся гладкими многообразиями и структурами на них. Им уже больше нужен, например, теоретический мат. анализ.

-- 05.11.2016, 14:12 --

Кстати, есть ещё похожие учебники от "суровых" французов:

- Н.Бурбаки "Функции действительного переменного" (рассматриваются функции из $\mathbb{R}^n$ (в том числе $n = 1$ ) в топологические векторные пространства).
- Ж.Дьёдонне "Основы современного анализа" (Дьёдонне, в частности, выступал за отмену интеграла Римана, и в своем учебники это воплотил)
- А.Картан "Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы" ("Классический" анализ, но все на Банаховых пространствах)

Но Шварц выглядит педагогичнее этих троих, особенно Картана.

-- 05.11.2016, 14:14 --

Кстати, интересный факт: и Шварц, и Дьедонне, и Картан принадлежали к коллективу под псевдонимом "Бурбаки".

[Brukvalub]

Учебник Шварца - это как бриллиантовые запонки на необитаемом острове: их блеск, как и всегда, радует глаз, но там их не продать, чтобы купить хлеба, с их помощью ни огонь разжечь, ни отмахаться от дикого зверя..
Иными словами, этот учебник похож на насквозь академичный подробный отчет о современном Шварцу состоянии науки под названием "Математический анализ". В нем нет ни попыток заинтересовать читателя предметом, ни мотивировок вводимых понятий и доказываемых теорем, ни развернутых примеров применения рассматриваемого аппарата. В общем, он напоминает подробный отчет об очень вкусном обеде, но после этого отчета ощущения сытости не появляется.
Сравните его с тем же трехтомником Фихтенгольца, и вы отчетливо поймете смысл понятия "Непреходящая ценность".
В наше суетное время и у того поколения, которое наиболее активно сейчас, такой учебник уж точно не найдет понимания и не возбудит интереса, поэтому, например, его переиздание ныне заведомо бесперспективно.

[Red_Herring]

Цитата:

Мы диалектику учили не по Гегелю

Почему-то говоря о приложениях каких-либо разделов математики, начинают с физиков и кончают лириками, забывая при этом самих математиков, а, конкретно, другие разделы математики.

Мое математическое ученичество пришло на ранние годы "Бурбаков на Волге", т.е. в СССР, и я учил довольно много чего по их первым переведенным книгам, следующие книги я просматривал, всё более и более бегло, но покупал, потом просто покупал, а потом и покупать перестал. Недавно открыв Дьедонне (которого я учил честно, не дуриком), я страшно удивился "Как я мог такое прочесть?". Сейчас бы точно "ниасилил", и не потому что сложно, а потому что скучно и непонятен ответ на izvehnyj вопрос "Зачем?" (и на все его вариации, от вполне литературных до совершенно нецензурных).

Нет, хороший учебник не должен быть "развлекухой", но мотивировки основных понятий и иллюстрации должны быть.

(Оффтоп)

Один мой знакомы студент-математик курсе на втором-третьем начал задаваться этим самым вопросом и стенать по поводу того, что на лекциях как правило этому вопросу внимания практически не уделялось. Постенав неделю-другую, он организовал семинар в необычном (по местным понятиям) формате: в течение 2х часов докладчик должен был рассказать интересную задачу, потом теорию, а потом применить ее к этой задаче. Семинар посещался старшекурсниками и аспиранты, время от времени и профессора заглядывали--в качестве слушателей или рассказчиков и успешно просуществовал довольно много лет.

[Padawan]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1166218 писал(а):

- А.Картан "Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы" ("Классический" анализ, но все на Банаховых пространствах)

Но Шварц выглядит педагогичнее этих троих, особенно Картана.

Изложение дифференциальных форм в книге Картана мне больше понравилось. Все инвариантно, никаких локальных координат. Определение внешнего дифференциала особенно понравилось.

Вообще сложилось впечатление что по дифференциальным формам Шварц списал раздел у Картана. Получилось хуже на мой взгляд.

[GOLOTOPAXPOP]

Brukvalub в сообщении #1166243 писал(а):

Учебник Шварца - это как бриллиантовые запонки на необитаемом острове: их блеск, как и всегда, радует глаз, но там их не продать, чтобы купить хлеба, с их помощью ни огонь разжечь, ни отмахаться от дикого зверя..
Иными словами, этот учебник похож на насквозь академичный подробный отчет о современном Шварцу состоянии науки под названием "Математический анализ". В нем нет ни попыток заинтересовать читателя предметом, ни мотивировок вводимых понятий и доказываемых теорем, ни развернутых примеров применения рассматриваемого аппарата. В общем, он напоминает подробный отчет об очень вкусном обеде, но после этого отчета ощущения сытости не появляется.
Сравните его с тем же трехтомником Фихтенгольца, и вы отчетливо поймете смысл понятия "Непреходящая ценность".
В наше суетное время и у того поколения, которое наиболее активно сейчас, такой учебник уж точно не найдет понимания и не возбудит интереса, поэтому, например, его переиздание ныне заведомо бесперспективно.

Несомненно, рядовому студенту мехмата Лоран Шварц не подойдет. Но, думается, достаточно мотивированный студент со склонностями к абстрактному, может его полюбить больше, чем, например, учебник В.Зорича (тоже очень хороший учебник, но другой).
Я не очень понял, в каком ключе вы упомянули Фихтенгольца, но, по-моему, это не учебник математического анализа, а какой-то слишком подробный учебник "калькулюса". То есть все очень примитивно, и большая часть посвящена вычислению, а не теории. Но для "вычислителей" есть и более подходящие учебники.

-- 05.11.2016, 19:14 --

Padawan в сообщении #1166275 писал(а):

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1166218 писал(а):

- А.Картан "Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы" ("Классический" анализ, но все на Банаховых пространствах)

Но Шварц выглядит педагогичнее этих троих, особенно Картана.

Изложение дифференциальных форм в книге Картана мне больше понравилось. Все инвариантно, никаких локальных координат. Определение внешнего дифференциала особенно понравилось.

Вообще сложилось впечатление что по дифференциальным формам Шварц списал раздел у Картана. Получилось хуже на мой взгляд.

Здорово! Я просто имел в виду, что Картан выше уровнем, чем Шварц. Ну, что его, наверное, надо читать уже после учебника Зорича или Шварца. Но я не знаю, для какой аудитории учебник задумывал сам Анри Картан.

[Brukvalub]

Про Фихтенгольца все не так, а совсем наоборот. БОльшая часть разобранных в нем примеров учит не просто "найти площадь под кривой", а виртуозно разъясняет, как технически применять доказанные теоремы (например, исследовать ряды на сходимость, искать асимптотики рядов и интегралов, вычислять несобственные интегралы с параметром, и, тем самым, продвигаться в изучении спецфункций и т.п.), и это совсем не пресловутый "калькулюс".
Суть в том, что мат.анализ в настоящее является не самоцелью, а инструментом. Так вот, для Шварца мат.анализ - самоцель, а Фихтенгольц - это великолепная инструкция по применению инструментов мат.анализа в других математических исследованиях.

[GOLOTOPAXPOP]

Brukvalub в сообщении #1166337 писал(а):

Про Фихтенгольца все не так, а совсем наоборот. БОльшая часть разобранных в нем примеров учит не просто "найти площадь под кривой", а виртуозно разъясняет, как технически применять доказанные теоремы (например, исследовать ряды на сходимость, искать асимптотики рядов и интегралов, вычислять несобственные интегралы с параметром, и, тем самым, продвигаться в изучении спецфункций и т.п.), и это совсем не пресловутый "калькулюс".
Суть в том, что мат.анализ в настоящее является не самоцелью, а инструментом. Так вот, для Шварца мат.анализ - самоцель, а Фихтенгольц - это великолепная инструкция по применению инструментов мат.анализа в других математических исследованиях.

Фихтенгольц просто устарел, даже не важно, сколько там примеров и каких. Если хочется, чтобы был и теоретический, и вычислительный анализ, то лучше, наверное, первый том Зорича. Примеры там тоже есть. Думаю, Зорича вполне достаточно рядовому студенту. Уж базовые операции дифференцирования и интегрирования выполнять научится. А если кому-то захочется всяких экзотических интегралов под соусом, то надо искать в другом месте, это не задача учебника "мат. анализа".

По поводу инструмента... Математик в первую очередь должен понимать, что использует, на концептуальном уровне. В этом он отличается от прикладника (или плохого математика). Думаю, Шварц как раз хорош для понимания. Во-втором томе, кстати, идут как раз дифференциальные уравнения. Но если не хватает, то можно ещё Зорича. Зорич вообще хороший учебник, думаю, как раз для рядового студента мехмата, в отличие от Шварца, который должен идти либо как второй курс, либо использоваться исключительно людьми, склонными к абстрактному изложению (с другой стороны, и математиками станут единицы, если провести корреляцию между теми, кто мог читать Шварца на первом курсе, и теми, кто мог стать математиков, может получиться интересный результат, но я не проводил, просто предполагаю).
А техники дифференцирования и интегрирования в Зориче рядовому математику с головой хватит. Если кому-то не хватает, можно, наверное и Фихтенгольца использовать, но не учить по нему теорию (но на уровне первого курса человек на знает ещё, что ему будет нужно, а для изучивших базовый анализ, наверное, есть, более современных и серьезные книги по вычислению различных интегралов и рядов).

[Red_Herring]

Понимать, что он делает, должен любой специалист (чистый ли математик, прикладной ли, физик, химик, и даже инженер!) А некоторые, кажется, полагают, что есть такое разделение труда: чистый математик всё понимает, но ничего не умеет, а прикладной--ничего не понимает, но всё умеет.

[Brukvalub]

Пожалуй, пора поступить, как велит песня:
...
"Мишка мой кричит: "К чертям!
Виза - или ванная!
Едем, Коля,- море там
Израилеванное!.."
Видя Мишкину тоску,-
А он в тоске опасный,-
Я еще хлебнул кваску
И сказал: "Согласный!"
...

[GOLOTOPAXPOP]

Red_Herring в сообщении #1166364 писал(а):

Понимать, что он делает, должен любой специалист (чистый ли математик, прикладной ли, физик, химик, и даже инженер!) А некоторые, кажется, полагают, что есть такое разделение труда: чистый математик всё понимает, но ничего не умеет, а прикладной--ничего не понимает, но всё умеет.

Я этого не говорил, заметьте (что чистый не должен уметь вычислять). Просто понимаете, не каждый математик будет работать в области, где ему понадобятся все трюки из Фихтенгольца. Большинству будет достаточно Зорича. Учить всех этим трюкам - это как учить всех "алгебраической теории чисел", например. То есть это делать теоретически можно, но тогда для справедливости нужно ещё много чему научить (что обычно выделяют в курсы по выбору, например, "гомологической алгебре", "теории схем Гротендика" или "комплексной аналитической геометрии"), и никакой жизни не хватит.
Нельзя же судить о обязательной программе так: "Что мне пригодилось в научной работе, то и должны все изучать" (может вы и не судите). Специалисту по некоммутативной алгебраической геометрии (не как у А.Конна, а как у Концевича, Каледина ), например, не нужно дифф. исчисление вообще в их работе, а нужно много теории категорий и гомологической алгебры, но это не значит, что все должны последние изучать в таком объеме (и уж тем более не значит, что не надо изучать классический анализ, надо, конечно, причем в отличие от гомологической алгебры он должен быть обязательным для всех).

А по поводу прикладных математиков, каюсь, не знаю, как их надо учить, но знаю, что количество теории и доказательств у них ни в какой сравнение не идёт с оным у студентов мехмата МГУ или матфака ВШЭ. В России вообще нет такого факультета "прикладная математика" без уклона в программирование или физику, например.
Что по поводу физиков и далее, то там, конечно, всё куда печальнее, никакого "понимания" (как у добросовестного математика) там нет, и заходить оно никогда не собиралось. Но это я про среднего по больнице, есть, например, физики, знающие много (строгой) математики.
А есть вообще "монстры", вроде Максима Концевича.

-- 06.11.2016, 00:52 --

Brukvalub в сообщении #1166366 писал(а):

Пожалуй, пора поступить, как велит песня:
...
"Мишка мой кричит: "К чертям!
Виза - или ванная!
Едем, Коля,- море там
Израилеванное!.."
Видя Мишкину тоску,-
А он в тоске опасный,-
Я еще хлебнул кваску
И сказал: "Согласный!"
...

Если я вас правильно понял, то вам надоело обсуждать? Дело ваше. Спасибо за участие в теме!

[Brukvalub]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1166455 писал(а):

Если я вас правильно понял, то вам надоело обсуждать?

Так здесь и нечего обсуждать. Марксисты учили, что "практика - критерий истины". Где учат анализу по Шварцу? Ответ: нигде. А вот начинающие сотрудники кафедры мат.анализа мехмата МГУ обязательно почитывают Фихтенгольца, иначе им первое время трудно работать.
Справедливости ради, нужно отметить, что здесь ранее участвовал сотрудник кафедры теоретической механики мехмата МГУ Олег Зубелевич (но он покинул форум). Так вот, он хвалил учебник Шварца. Но это потому, что сам он учит студентов теормеху, а не матану.

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1166455 писал(а):

Нельзя же судить о обязательной программе так: "Что мне пригодилось в научной работе, то и должны все изучать" (может вы и не судите).

Закончили Вы университет, поступили в аспирантуру. И, скорее всего, стали заодно и преподавать. Защитились--и опять преподавать (без отрыва от науки). В России чисто академических позиций немного, в США/Канаде постоянных таких позиций практически нет. И кому же Вы собрались преподавать? Студентов и аспирантов-математиков мало, и Ваш основной контингент это статистики (вкл. actuarial science), физики, химики, биологи, экономисты, ..., инженеры, ... и никому из них гомологическая алгебра не нужна, а нужны calculus, линейная алгебра, ОДУ, комплексный анализ, УЧП, теорвер, .... И что я наблюдаю: происходит часто алгебраизация преподавания этих предметов не потому, что надо, а потому что инструктор другого не знает. Ладно, физики терпят, а инженеры--народ грубый, и с ножом к горлу матлаб требуют.

Так что принцип другой: хотите изучать теорию категорий--исполать, но извольте быть готовы учить calculus, линейную алгебру, ОДУ. Причем быть готовым означает в том числе: знать существенно больше, чем будете требовать со студентов. А не будете готовы, так не жалуйтесь, если будете учить самый примитивный курс самым "нематематическим" студентам.

[GOLOTOPAXPOP]

Цитата:

Где учат анализу по Шварцу? Ответ: нигде.

Я же согласен, что массового студента опасно учить только по Шварцу. Даже если дополнить немного калькулюсом.

Цитата:

А вот начинающие сотрудники кафедры мат.анализа мехмата МГУ обязательно почитывают Фихтенгольца, иначе им первое время трудно работать.

При всем уважении к мехмату МГУ, я наслышан, как там преподают анализ. То есть "теории функций действительного переменного" там является основой программы, и ей уделяется большее время. Эта наука была весьма активна в первой половине двадцатого века, но сейчас состояние дел изменилось. Кроме того, даже если бы действительный анализ был бы настолько же активным, как и раньше, всё равно было бы несправедливо ставить его во главу угла.

Даже если смотреть только на анализ. А как же функциональный анализ? Он ничуть не менее важен! Более того, исследования там более активные, чем в "действительном". Но и на этом анализ не кончается. Анализ на многообразиях (и в $\mathbb{R}^n$, и на абстрактных), геометрический анализ (это современная наука, получившаяся из синтеза некоторых тем в УЧП и дифференциальной геометрии, можете посмотреть, например, работы Яу), многомерный комплексный анализ, алгебраический анализ, микролокальный анализ, нелинейные геометрические УЧП. Есть ещё очень большая и активная наука - комплексная геометрия (алгебраическая и аналитическая), это, конечно, не анализ "в чистом виде", но она очень аналитическая и использует много результатов из комплексного анализа. Преподают всё это на мехмате? Я так понимаю, что функциональный анализ и многообразия как-то преподают, но не думаю, что им отдают столько времени, как "классическому анализу". Насчет остального я уверен, что если и читают спецкурсы, то не каждый год.

А представьте, сколько ещё наук разных и важных есть? В алгебре тем не меньше, чем в анализе - теория полей и Галуа, коммутативная алгебра, некоммутативная теория колец, упорядоченные поля, гомологическая алгебра, теория групп.
А геометрия? Тут вообще множество огромных фундаментальных наук. Уже только алгебраическая геометрия сама по себе необъятна. Там тебе и классические алгебраические многообразия, и теория схем Гротендика, и более категорные темы, вроде стэков (и высших стэков), и более аналитические темы, например, комплексная геометрия, и арифметические методы...
Причем это только "мэйнстримные" темы. Есть ещё менее известные и модные. Да хоть логика та же!

Извините, что-то много понаписал, просто вот такие мысли пришли. Хотел объяснить, почему мне кажется, что в плане того, как читаются обязательные курсы, на мехмат равняться не стоит.

-- 06.11.2016, 02:15 --

Red_Herring в сообщении #1166468 писал(а):

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1166455 писал(а):

Нельзя же судить о обязательной программе так: "Что мне пригодилось в научной работе, то и должны все изучать" (может вы и не судите).

Закончили Вы университет, поступили в аспирантуру. И, скорее всего, стали заодно и преподавать. Защитились--и опять преподавать (без отрыва от науки). В России чисто академических позиций немного, в США/Канаде постоянных таких позиций практически нет. И кому же Вы собрались преподавать? Студентов и аспирантов-математиков мало, и Ваш основной контингент это статистики (вкл. actuarial science), физики, химики, биологи, экономисты, ..., инженеры, ... и никому из них гомологическая алгебра не нужна, а нужны calculus, линейная алгебра, ОДУ, комплексный анализ, УЧП, теорвер, .... И что я наблюдаю: происходит часто алгебраизация преподавания этих предметов не потому, что надо, а потому что инструктор другого не знает. Ладно, физики терпят, а инженеры--народ грубый, и с ножом к горлу матлаб требуют.

Так что принцип другой: хотите изучать теорию категорий--исполать, но извольте быть готовы учить calculus, линейную алгебру, ОДУ. Причем быть готовым означает в том числе: знать существенно больше, чем будете требовать со студентов. А не будете готовы, так не жалуйтесь, если будете учить самый примитивный курс самым "нематематическим" студентам.

Вы, конечно, правы. Но calculus, линейная алгебра и ОДУ - это всё стандартные темы любой undergraduate программы. Их любой математик знает на большем уровне, чем необходимо "нематематикам". Для этого не нужно штудировать Фихтенгольца и Шварца одновременно.

Кстати, преподавание калькулюса, ЛА и ОДУ в западных университетах - это горе для любого математика, как мне кажется, даже самого классического-преклассического аналитика. Аналитик-то знает это всё, он учил всё "как надо", а его заставляют читать "одебиленный" курс без доказательств и с кучей рукомахательств. Это отдельная тема.
По-хорошему, физики должны учить физиков, а инженеры - инженеров. Тогда будет взаимопонимание.

P.S. Только не надо спрашивать: "Зачем тогда нужны математики?" Нужны, чтобы развивать науку и учить этой науке (науке, а не курсам в стиле "теория матриц без доказательств" вместо нормальной "линейной алгебры", которую, по-хорошему, вообще надо учить в контексте "абстрактной" алгебры и теории модулей, при этом уделяя внимание и приложениям, и вычислениям, чего не делается обычно: либо отдельно от алгебры (стандартные курсы), либо без деталей и приложений (как в "больших" учебниках алгебры). Нужны по той же причине, по которой нужны физики, биологи и так далее.
P.P.S. Но с чисто практической точки зрения, вы, к сожалению, правы, заставляют читать "убогие" курсы, вроде calculus-1, linear algebra without proofs и прочее. В этом плане мне подход МГУ, МФТИ и ВШЭ нравится, что там нет аналогов западных начальных курсов, содержание которых предполагает, что студент, извините, полный идиот (ну какой он идиот, если он поступил, например, в Гарвард?). Вместе "calculus 1/2/3" есть сразу курс "Математический анализ". У меня к нему много претензий, но вот с западным кошмаром он не сравнится.