Аналитичность функции (вещественной переменной)

[Roman_Onegin]

Помогите, пожалуйста, разобраться! Я вычитал, что если функция аналитична в точке, то эта функция аналитична и в каждой точке окрестности данной точки. Однако не могу взять в толк почему. Из чего следует, что функция обязательно аналитична в каждой точке окрестности? Можно ли это как-то объяснить или доказать? Мне кажется, что я что-то упустил.
Заранее спасибо за помощь!

[Padawan]

На всякий случай дайте определение функции, аналитической в точке.

Утверждение следует из того, что сумма ряда $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ является аналитической функцией на интервале сходимости $(-R,R)$. Доказывается переразложением в окрестности точки $x_0\in (-R,R)$. Радиус cходимости полученного ряда будет не меньше, чем $R-|x_0|$ (может быть и больше).

[Roman_Onegin]

Padawan
Определение:
Функция аналитична в точке $x_0$ , если в некоторой окрестности данной точки ее можно представить в виде: $ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n$

Если честно, для меня несколько неочевидно, что сумма ряда является аналитической функцией на интервале сходимости. В смысле интуитивно понятно, но все же почему конкретно?
Извиняюсь, если задаю глупые вопросы, но в голове сейчас бардак, поэтому хотя бы с помощью форума пытаюсь расставить все по полочкам.

[Padawan]

Roman_Onegin в сообщении #1163284 писал(а):

Если честно, для меня несколько неочевидно, что сумма ряда является аналитической функцией на интервале сходимости.

Это и не очевидно. Надо доказывать. Посмотрите в учебниках по мат.анализу. В Фихтенгольце есть, в Архипове, Садовничем, Чубарикове. Да во всех должно быть.

[Roman_Onegin]

Padawan
Большое спасибо за помощь!

[ewert]

Padawan в сообщении #1163301 писал(а):

Да во всех должно быть.

Вряд ли во всех -- это факт идейно ТФКП-шный (хотя без комплексной переменной обойтись и можно).

Roman_Onegin в сообщении #1163284 писал(а):

Если честно, для меня несколько неочевидно, что сумма ряда является аналитической функцией на интервале сходимости.

Это действительно не так уж и очевидно. Можно так: вычтите друг из друга значения степенного ряда для стартовой точки и для смещённой (почленно). Смещение вынесется за скобки; каждую из полученных после вынесения сумм степеней оцените сверху через сколько-то на единицу меньшую, чем исходная, и докажите, что это "сколько-то" не влияет на радиус сходимости (т.е. что полученный после оценивания ряд тоже сходится).

Но лучше всё-таки подождать до ТФКП.

[Roman_Onegin]

ewert
Спасибо за ответ!
Попробую доказать таким образом, потому что очень заинтересовал меня данный вопрос.

[ewert]

Roman_Onegin в сообщении #1163342 писал(а):

Спасибо за ответ!

Который я не уверен, что изложил правильно (легомысленно постил). Но в чём уверен -- что идея должна быть такая.

[shwedka]

Есть замечательная книга на эту тему
Steven G. Krantz, Harold R. Parks,
A primer of real analytic functions

два издания, 1992 и 2002.
Погуглите, обязательно найдете в сети.

[Padawan]

Подставьте в $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ $x=x_0+h$. Получится $f(x_0+h)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x_0+h)^n$. Остается возвести $x_0+h$ в степень и сгруппировать слагаемые по степеням $h$. Перестановка членов законна, т.к. ряд мажорируется рядом $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|x_0|+|h|)^n$, который сходится при всех $|x_0|+|h|<R$. В итоге получится разложение $f(x)$ по степеням $h=x-x_0$, сходящееся в окрестности радиуса $R-|x_0|$.

-- Пт окт 28, 2016 17:55:30 --

В Фихтенгольце есть общая теорема о подставновке степенного ряда в степенной ряд.

[Roman_Onegin]

shwedka
Большое спасибо за наводку!

-- 28.10.2016, 16:18 --

Padawan
Большое спасибо! Вы меня очень выручили!

[Roman_Onegin]

Padawan в сообщении #1163757 писал(а):

Подставьте в $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ $x=x_0+h$. Получится $f(x_0+h)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x_0+h)^n$. Остается возвести $x_0+h$ в степень и сгруппировать слагаемые по степеням $h$. Перестановка членов законна, т.к. ряд мажорируется рядом $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|x_0|+|h|)^n$, который сходится при всех $|x_0|+|h|<R$. В итоге получится разложение $f(x)$ по степеням $h=x-x_0$, сходящееся в окрестности радиуса $R-|x_0|$.

-- Пт окт 28, 2016 17:55:30 --

В Фихтенгольце есть общая теорема о подставновке степенного ряда в степенной ряд.

Доброго времени суток!
Прошу прощения за беспокойство!
Спустя долгое время, но у меня все же возник вопрос, а почему ряд $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|x_0|+|h|)^n$ сходится?

[Padawan]

Потому что исходный степенной ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ абсолютно сходится на интервале $(-R,R)$.

[Roman_Onegin]

Padawan
Ах, точно! Благодарю еще раз!

[Boris_Glushakov]

Здравствуйте!
Во время разбора доказательства теоремы я не совсем понял одну интересную вещь:

Почему ряд $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|y|+|x_1|)^n$ все-таки сходится? Громкое слово "поэтому" в доказательстве, если честно, ничего мне не объяснило. Я понимаю, что изначальный ряд сходится абсолютно на интервале сходимости. Однако это не объясняет сходимость $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|y|+|x_1|)^n$ данного ряда.
Я предполагал, что это можно как-то объяснить на основе первой теоремы Абеля, но ничего путного из этого не вышло.
Поэтому прошу помощи. Кому не сложно, объясните максимально детально, на каком основании ряд $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (|y|+|x_1|)^n$ сходится при $|y|+|x_1| < R_0$ ?