2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 15:31 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Добрый день. Разбираюсь с рядами Фурье.

Для функции $f(x)$ построить графики сумм $S(x)$ и первую ненулевую гармонику.
$$
F(x)=\begin{cases}
4-x,& x\in (-3;0);\\
2, & x\in (0;3);
\end{cases}
$$
Я разложила функцию в ряд. А что такое графики сумм? Читала здесь: http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html
По аналогии получила следующее:

$$f(x) \sim \frac{5}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}-1}{(\pi  n)^2}\cos\frac{\pi  n  x }{3}+\frac{2((-1)^{n}(6\pi n - 3)-2\pi n+3)}{(\pi n)^2} \sin\frac{\pi nx }{3}\right) $$

Изображение

Не понимаю, правильно я сделала или нет.

И еще. Как построить первую ненулевую гармонику? :facepalm:

Нашла определение:

Цитата:
Член $(a_{1}\cos x+b_{1}\sin x)$ называется первой или основной гармоникой,


Не понимаю, что я должна сделать. Подставить в полученные мной коэффициенты Фурье $n = 1$ и построить полученую функцию?

Подскажите, пожалуйста. Очень хочется понять. Заранее благодарю! :!:

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.11.2016, 15:37 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- недостаточно собственных содержательных попыток решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.


-- 03.11.2016, 17:42 --

paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):
По аналогии получила следующее:

Невнимательно читали.
paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):
В примерах в точке разрыва на графике рисуется точка, не понятно почему.

См. выше.
paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):
Как построить первую ненулевую гармонику?

Определение дайте, пожалуйста.

Формулу наберите в ТеХ, на картинке должен быть только график.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.11.2016, 16:16 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 19:48 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Есть следующие соображения по поводу гармоники:

при n=1 следующее:

$$f(x) \sim \frac{5}{2} + \Biggr( \frac{(-1)^{1}-1}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2((-1)^{1}(6\pi -3)-2\pi + 3)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr) =$$
$$=\frac{5}{2} + \Biggr( \frac{-2}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2(-6\pi +3-2\pi + 3)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr) =$$
$$=\frac{5}{2} + \Biggr( \frac{-2}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2(-8\pi +6)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$
$$=\frac{5}{2} - \frac{ 2 }{ (\pi)^2 } \Biggr( \cos\frac{\pi x}{3}-(-8\pi +6)\cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$

Это и есть нужная мне гармоника? И получаю нечто такое?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 19:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тут у вас сумма нулевой и первой. Это зачтётся за частичную сумму ряда Фурье, но не за гармонику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 19:55 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
arseniiv в сообщении #1165816 писал(а):
Тут у вас сумма нулевой и первой. Это зачтётся за частичную сумму ряда Фурье, но не за гармонику.


А как мне быть? Как я должна ее найти?

А график сумм я вообще правильно изобразила? Или тоже не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Выбросить нулевую гармонику, то есть "первую" константу. Но это, если задание понимать строго формально. возможно, от вас требовали график именно первой частичной суммы, но "криво" выразили свою просьбу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:02 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Brukvalub в сообщении #1165821 писал(а):
Выбросить нулевую гармонику, то есть "первую" константу. Но это, если задание понимать строго формально. возможно, от вас требовали график именно первой частичной суммы, но "ериво2 выразили свою просьбу.


Задание ровно такое:

Построить график функции $f(x)$, построить графики сумм $S(x)$ и первую ненулевую гармонику.

Т.е., если я убираю константу, то получаю:
$$ - \frac{ 2 }{ (\pi)^2 } \Biggr( \cos\frac{\pi x}{3}-(-8\pi +6)\cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$

Тогда, мне нужен график для этой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тогда -да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:07 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Brukvalub в сообщении #1165824 писал(а):
Тогда -да.


Огромное спасибо. Поняла. А можете, пожалуйста, посмотреть график для сумм $S(x)$
Я его в самом начале привела. Верно ли я его изобразила?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я тут проверил ваш ряд Фурье, и он сходится не совсем к той функции, к которой надо. Что post hoc на самом деле сразу видно по нулевой гармонике — она должна быть средним функции по периоду, а $5/2$ явно маловато. График суммы двух первых гармоник этого неправильного ряда правильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
График станет правильным, если добавить значения суммы в точках вида $6n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 20:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ой, а я подумал, речь про второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение03.11.2016, 22:15 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
arseniiv в сообщении #1165827 писал(а):
Я тут проверил ваш ряд Фурье, и он сходится не совсем к той функции, к которой надо. Что post hoc на самом деле сразу видно по нулевой гармонике — она должна быть средним функции по периоду, а $5/2$ явно маловато. График суммы двух первых гармоник этого неправильного ряда правильный.

Что-то я не поняла. Я неправильно нашла ряд для функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение графика сумм для ряда Фурье
Сообщение04.11.2016, 00:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да. Нулевая гармоника, например, должна быть равна $\frac12(\frac{7+4}2+2) = 15/4\ne 5/2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: skobar


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group