Построение графика сумм для ряда Фурье

[paradiseva]

Добрый день. Разбираюсь с рядами Фурье.

Для функции $f(x)$ построить графики сумм $S(x)$ и первую ненулевую гармонику.

$$ F(x)=\begin{cases} 4-x,& x\in (-3;0);\\ 2, & x\in (0;3); \end{cases} $$

Я разложила функцию в ряд. А что такое графики сумм? Читала здесь: http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html
По аналогии получила следующее:

$$f(x) \sim \frac{5}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}-1}{(\pi n)^2}\cos\frac{\pi n x }{3}+\frac{2((-1)^{n}(6\pi n - 3)-2\pi n+3)}{(\pi n)^2} \sin\frac{\pi nx }{3}\right) $$

Не понимаю, правильно я сделала или нет.

И еще. Как построить первую ненулевую гармонику?

Нашла определение:

Цитата:

Член $(a_{1}\cos x+b_{1}\sin x)$ называется первой или основной гармоникой,

Не понимаю, что я должна сделать. Подставить в полученные мной коэффициенты Фурье $n = 1$ и построить полученую функцию?

Подскажите, пожалуйста. Очень хочется понять. Заранее благодарю!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- недостаточно собственных содержательных попыток решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 03.11.2016, 17:42 --

paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):

По аналогии получила следующее:

Невнимательно читали.

paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):

В примерах в точке разрыва на графике рисуется точка, не понятно почему.

См. выше.

paradiseva в сообщении #1165732 писал(а):

Как построить первую ненулевую гармонику?

Определение дайте, пожалуйста.

Формулу наберите в ТеХ, на картинке должен быть только график.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[paradiseva]

Есть следующие соображения по поводу гармоники:

при n=1 следующее:

$$f(x) \sim \frac{5}{2} + \Biggr( \frac{(-1)^{1}-1}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2((-1)^{1}(6\pi -3)-2\pi + 3)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr) =$$

$$=\frac{5}{2} + \Biggr( \frac{-2}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2(-6\pi +3-2\pi + 3)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr) =$$

$$=\frac{5}{2} + \Biggr( \frac{-2}{(\pi)^2} \cdot \cos\frac{\pi x}{3}+\frac{2(-8\pi +6)}{(\pi)^2} \cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$

$$=\frac{5}{2} - \frac{ 2 }{ (\pi)^2 } \Biggr( \cos\frac{\pi x}{3}-(-8\pi +6)\cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$

Это и есть нужная мне гармоника? И получаю нечто такое?

[arseniiv]

Тут у вас сумма нулевой и первой. Это зачтётся за частичную сумму ряда Фурье, но не за гармонику.

[paradiseva]

arseniiv в сообщении #1165816 писал(а):

Тут у вас сумма нулевой и первой. Это зачтётся за частичную сумму ряда Фурье, но не за гармонику.

А как мне быть? Как я должна ее найти?

А график сумм я вообще правильно изобразила? Или тоже не так?

[Brukvalub]

Выбросить нулевую гармонику, то есть "первую" константу. Но это, если задание понимать строго формально. возможно, от вас требовали график именно первой частичной суммы, но "криво" выразили свою просьбу.

[paradiseva]

Brukvalub в сообщении #1165821 писал(а):

Выбросить нулевую гармонику, то есть "первую" константу. Но это, если задание понимать строго формально. возможно, от вас требовали график именно первой частичной суммы, но "ериво2 выразили свою просьбу.

Задание ровно такое:

Построить график функции $f(x)$, построить графики сумм $S(x)$ и первую ненулевую гармонику.

Т.е., если я убираю константу, то получаю:

$$ - \frac{ 2 }{ (\pi)^2 } \Biggr( \cos\frac{\pi x}{3}-(-8\pi +6)\cdot \sin\frac{\pi x}{3}\Biggr)$$

Тогда, мне нужен график для этой функции.

[Brukvalub]

Тогда -да.

[paradiseva]

Brukvalub в сообщении #1165824 писал(а):

Тогда -да.

Огромное спасибо. Поняла. А можете, пожалуйста, посмотреть график для сумм $S(x)$
Я его в самом начале привела. Верно ли я его изобразила?

[arseniiv]

Я тут проверил ваш ряд Фурье, и он сходится не совсем к той функции, к которой надо. Что post hoc на самом деле сразу видно по нулевой гармонике — она должна быть средним функции по периоду, а $5/2$ явно маловато. График суммы двух первых гармоник этого неправильного ряда правильный.

[Brukvalub]

График станет правильным, если добавить значения суммы в точках вида $6n$.

[arseniiv]

Ой, а я подумал, речь про второй.

[paradiseva]

arseniiv в сообщении #1165827 писал(а):

Я тут проверил ваш ряд Фурье, и он сходится не совсем к той функции, к которой надо. Что post hoc на самом деле сразу видно по нулевой гармонике — она должна быть средним функции по периоду, а $5/2$ явно маловато. График суммы двух первых гармоник этого неправильного ряда правильный.

Что-то я не поняла. Я неправильно нашла ряд для функции?

[arseniiv]

Да. Нулевая гармоника, например, должна быть равна $\frac12(\frac{7+4}2+2) = 15/4\ne 5/2$.