Как вводится мера

[Lia]

Yodine
Это длина кривой (при хороших условиях). А мера как определяется? Вот просто - мера. Вы же с этим хотели разобраться, я правильно понимаю?

[Yodine]

Lia в сообщении #1165526 писал(а):

Определение меры не скажете?

Надо задать множество и систему подмножеств. В данном случае, в качестве множества можно задать кривую, система подмножеств это дуги этой кривой, мера это длина дуги.

[_hum_]

Dmitriy40 в сообщении #1165474 писал(а):

(Мера или не мера?)

_hum_ в сообщении #1165462 писал(а):

И еще, наверное, вас попутало, что обычно в обиходе расстояние между точками измеряют с помощью длины, а длина является мерой в математическом смысле. И в то же время в математике метрика делает то же самое (измеряет расстояние между точками), но уже не является мерой (в математическом смысле).

Да уж! Несколько раз прочитал и так и не въехал в различие, одно длина и другое длина, но одно мера, а второе нет. Придётся вкуривать дальше ... Спасибо за разъяснения.

ну что непонятного. есть у вас две точки. спрашивается, какое между ними расстояние. вы можете поступить двояким образом - притащить стержень такого размера, чтоб его концы совпадали с точками, и зная длину стержня, узнать и расстояние (оно будет равно длине). второй вариант, притащить прибор "измеритель расстояния", состоящий из двух "щупов", каждый из которых вы помещаете в соответствующей точке. прибор в итоге выдает вам число.
вот и можно говорить, что в первом случае вы измеряете расстояние с помощью длины (которая является мерой и в математическом смысле), а во втором - с помощью метрики (черного ящичка, которому на вход даются две точки, а на выходе получается число). конечно, эти значения совпадают, поэтому в обиходе мы часто отождествляем понятие расстояние и длина.
в математике же это два различных понятия.

-- Ср ноя 02, 2016 22:28:07 --

Yodine в сообщении #1165518 писал(а):

Неформально я понимаю так.
Метрика это число, которое сопоставляется любым двум элементам нашего пространства или некоторого множества.
Мера это число, которое сопоставляется множеству из нашего пространства или из семейства множеств.
В одномерном случае, мы кривой сопоставляем число - длину кривой, поэтому это мера.
В тоже время, длина кривой это метрика, поскольку двум элементам началу и концу кривой сопоставляется число.
Есть ошибки?

длина кривой - мера, хотя бы потому, что она определяется всем множеством точек кривой, а не двумя точками ее концов.

и вообще, метрика - это функция от двух аргументов, а мера - от одного

[arseniiv]

Yodine в сообщении #1165536 писал(а):

Надо задать множество и систему подмножеств. В данном случае, в качестве множества можно задать кривую, система подмножеств это дуги этой кривой, мера это длина дуги.

Ладно, если удачно выбрать эту систему подмножеств кривой, это будет мера на кривой. Сначала показалось, что вы предлагали меру на том самом многомерном пространстве, в котором могут быть много кривых, чтобы мера была определена на отрезках разных кривых.

[Yodine]

Ваш вопрос все равно был полезен!
Записывая ответ, я понял, что имел ввиду Munin в этой фразе

Munin в сообщении #1165501 писал(а):

Обиходная "длина" - это иногда мера, но не всегда. Это мера для одномерных предметов, расположенных на одной прямой.

И понял на этом примере, почему на меня "нападали", когда я говорил о времени как о мере. Ко мне нет доверия и я небрежно пишу и ошибаюсь. Поэтому, если бы я записал достаточно формально то, что я говорил, то и "нападок" было бы меньше, и можно было бы исправить ошибки и недочеты мои.
Следующий раз, когда буду говорить о времени, то надо будет записать все формально.

[Munin]

Yodine в сообщении #1165556 писал(а):

Следующий раз, когда буду говорить о времени, то надо будет записать все формально.

Даже и не пытайтесь. Лучше учитесь поменьше говорить.

[Lia]

Yodine
Это смотря чего Вы хотите: если правдоподобного рукомахания и видимости понимания (типа математика для филфака), то и так все хорошо. Но тогда Вам не удастся навести строгость, половина объяснений выше - для поверхностного понимания.

Если нет - то действительно, читайте Колмогорова. Но у Вас им пока и не пахло.

Ну например. Вы собираетесь определять меру кривой как длину кривой. Как именно - не уточняя. (А, формула была. Так формула, извините, не для всех кривых годится, там производные какие-то торчат, а это уж точно значит, что не для всех.) А между тем, для многих непрерывных кривых длины не существует. Кривая Пеано - самый известный, но не самый простой пример такой кривой. Хотя и у нее есть и начало, и конец, и все остальное.

[Yodine]

Lia в сообщении #1165563 писал(а):

правдоподобного рукомахания и видимости понимания (типа математика для филфака)

да, для этого по факту.

Lia в сообщении #1165563 писал(а):

Ну например. Вы собираетесь определять меру кривой как длину кривой. Как именно - не уточняя. (А, формула была. Так формула, извините, не для всех кривых годится, там производные какие-то торчат, а это уж точно значит, что не для всех.) А между тем, для многих непрерывных кривых длины не существует. Кривая Пеано - самый известный, но не самый простой пример такой кривой. Хотя и у нее есть и начало, и конец, и все остальное.

Ну да, ну да. Знаю, помню, что кривые не все "хорошие" и т.д.

[Lia]

Yodine в сообщении #1165569 писал(а):

да, для этого по факту.

Окей, на том и договоримся.

(Оффтоп)

Вы, главное, математику для филфака физикам по ошибке не преподайте. Обидчивые оне.

[Munin]

+ не надо думать, что видимость понимания имеет что-то общее с пониманием.

[Someone]

Yodine в сообщении #1165407 писал(а):

Someone в сообщении #1165402 писал(а):

Yodine в сообщении #1165398 писал(а):

Это дает ответ на вопрос о различии расстояния, длины и времени, позволяет отличать температуру от времени.
В чем различие? Мой ответ функции иные и на разных множествах определены.

Никакого ответа это не даёт. Мы можем взять точку на поверхности Земли и определить в ней три величины: высоту над уровнем моря, атмосферное давление и температуру воздуха. Все три величины будут какими-то функциями, определёнными на множестве точек поверхности Земли. И какое различие Вы хотите увидеть, зная только то, что и первое, и второе, и третье — это какие-то функции?

Нужно дополнительно знать как было задано множество на котором были определены эти функции. Без этого никак. Нужно знать вид функции и несущее множество, метрическое пространство это пара.

Извините, Вы читать не умеете? Или не в состоянии понять написанное?

-- Чт ноя 03, 2016 15:04:21 --

_hum_ в сообщении #1165539 писал(а):

в первом случае вы измеряете расстояние с помощью длины (которая является мерой и в математическом смысле), а во втором - с помощью метрики

Ну что Вы, от длины дуги (даже на прямой) до меры ещё пилить и пилить, и не всякий эту дорогу осилит, если со всеми подробностями делать…

[Yodine]

Someone я готов разделить ваше негодование, но по пунктам. Внимательно слушаю вас. К "порке" готов.

Someone в сообщении #1165726 писал(а):

Извините, Вы читать не умеете?

Умею.

Someone в сообщении #1165726 писал(а):

Или не в состоянии понять написанное?

Очевидно, что некоторые слова понимаю. Конкретизируйте свой вопрос.

[Someone]

Тогда я не понимаю, что Вам требуется "дополнительно задать". Я всё необходимое задал.

[_hum_]

Someone в сообщении #1165726 писал(а):

Yodine в сообщении #1165407 писал(а):

_hum_ в сообщении #1165539 писал(а):

в первом случае вы измеряете расстояние с помощью длины (которая является мерой и в математическом смысле), а во втором - с помощью метрики

Ну что Вы, от длины дуги (даже на прямой) до меры ещё пилить и пилить, и не всякий эту дорогу осилит, если со всеми подробностями делать…

не надо никуда пилить - длина отрезка на прямой автоматически является мерой (удовлетворяет всем свойствам меры)

[Someone]

_hum_ в сообщении #1176058 писал(а):

длина отрезка на прямой автоматически является мерой (удовлетворяет всем свойствам меры)

То есть, Вы считаете, что множество отрезков является $\sigma$-алгеброй? Не шутите так скверно.