Как вводится мера

[Yodine]

Благодарю всех за посильную помощь!

(Brukvalub)

Уважаемый Brukvalub, я не злонамерен, никому не хочу причинять неудобства, я не знаю, что делаю не так, чем вызвал ваше неудовольствие, честно-честно.

[Xaositect]

Yodine в сообщении #1165407 писал(а):

Нужно дополнительно знать как было задано множество на котором были определены эти функции. Без этого никак. Нужно знать вид функции и несущее множество, метрическое пространство это пара.

Вот если бы Вы об этом что-нибудь написали, то, может быть, это было полезным сообщением. А пока Ваше сообщение "расстояние и время - это метрики", да и то с ошибками.

[Yodine]

Xaositect в сообщении #1165425 писал(а):

А пока Ваше сообщение "расстояние и время - это метрики", да и то с ошибками.

Согласен.

[arseniiv]

Почему бы просто не почитать определения собственного времени и координатного времени и не установить самостоятельно, что никакой метрики ни в одном из этих случаев не получится?

[_hum_]

Yodine, вас наверное запутало то, что в обиходе мера - это нечто, что "меряет". В этом смысле (обывательском) расстояние тоже мера. Но в математике термин мера закреплен за тем, что "меряет" экстенсивные (увеличивающиеся с ростом) величины множеств.
И еще, наверное, вас попутало, что обычно в обиходе расстояние между точками измеряют с помощью длины, а длина является мерой в математическом смысле. И в то же время в математике метрика делает то же самое (измеряет расстояние между точками), но уже не является мерой (в математическом смысле).

Это хорошо, что вы такими вопросами задаетесь.

Кстати, по поводу меры, можете почитать первые странички: Элементы теории меры и интеграла
Это не совсем общепринятое изложение, но оно самое общее и показывающее суть меры и всех этих "непонятных телодвижений с сигма-алгебрами и продолжениями мер".

[Dmitriy40]

(Мера или не мера?)

_hum_ в сообщении #1165462 писал(а):

И еще, наверное, вас попутало, что обычно в обиходе расстояние между точками измеряют с помощью длины, а длина является мерой в математическом смысле. И в то же время в математике метрика делает то же самое (измеряет расстояние между точками), но уже не является мерой (в математическом смысле).

Да уж! Несколько раз прочитал и так и не въехал в различие, одно длина и другое длина, но одно мера, а второе нет. Придётся вкуривать дальше ... Спасибо за разъяснения.

[arseniiv]

(Мера или не мера!)

Мера опредена на множествах из какой-то алгебры множеств, а метрика определена на парах элементов из какого-то множества. Их можно состыковать, если в метрическом пространстве как минимум есть какое-то понятие «прямоты», чтобы нарисовать «отрезки», меру которых можно было бы приравнивать расстоянию между их концами.

Хотя чего это я, можно определить прямоту и так, например: надо, чтобы «отрезок» был образом какого-то линейно упорядоченного множества при каком-то отображении $f$, и чтобы $a<b<c\Rightarrow \rho(f(a),f(c)) = \rho(f(a),f(b)) + \rho(f(b),f(c))$. Однако такое наивное определение не сработает для дуг больших кругов сферы, больших $\pi$.

[Munin]

Обиходное "расстояние" - это метрика.
Обиходная "длина" - это иногда мера, но не всегда. Это мера для одномерных предметов, расположенных на одной прямой.
Точного аналога меры в обиходе нет: есть длина, площадь, объём, и они в разных ситуациях играют роль меры в некоторых частных случаях.
Ещё иногда обиходная "длина" - это диаметр множества. Но опять же, только для одномерных предметов.

[Yodine]

Munin в сообщении #1165501 писал(а):

Обиходная "длина" - это иногда мера, но не всегда. Это мера для одномерных предметов, расположенных на одной прямой.

Хммм, вроде не только прямые подходят, длина кривой в многомерном евклидовом пространстве вроде подходит под определение меры.

[arseniiv]

Ну так не «вроде», а покажите тогда, как она подходит. На чём эта мера определена, скажем, хотя бы.

[Yodine]

Неформально я понимаю так.
Метрика это число, которое сопоставляется любым двум элементам нашего пространства или некоторого множества.
Мера это число, которое сопоставляется множеству из нашего пространства или из семейства множеств.
В одномерном случае, мы кривой сопоставляем число - длину кривой, поэтому это мера.
В тоже время, длина кривой это метрика, поскольку двум элементам началу и концу кривой сопоставляется число.
Есть ошибки?

[arseniiv]

Погодите, вы начали с

Yodine в сообщении #1165512 писал(а):

длина кривой в многомерном евклидовом пространстве вроде подходит под определение меры

Вот давайте про эту меру.

-- Ср ноя 02, 2016 22:51:22 --

arseniiv в сообщении #1165516 писал(а):

На чём эта мера определена, скажем, хотя бы.

[Yodine]

Мера определенный интеграл, формулу все знают. Формулу немного лень записывать, медленно получается у меня.

[Lia]

Yodine
Вы отвечаете не на те вопросы.
Вас спросили:

arseniiv в сообщении #1165516 писал(а):

На чём эта мера определена, скажем, хотя бы.

Определение меры не скажете?

[Yodine]

$L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{(y')^2+(x')^2}dt$