Кардиналы

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Да, но это объяснение того, с чем я уже согласился.

Ну а с чем Вы не согласны-то? Я не понимаю, в чём Ваше затруднение.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Проведите два мысленных эксперимента.

Опыт 2. Есть счётное число ящиков $B_0, B_1, \ldots$, в каждом из которых перед началом эксперимента лежат все натуральные числа. На шаге $t$ из ящика $B_t$ извлекается число $t$. После завершения всех шагов в каждом из ящиков остаётся счётное количество чисел.

(*)Из ящика $B_t$ извлекаются ВСЕ первые $t$ шаров. Просмотрите процесс у чертика еще раз.

PS Кстати, это тоже интересный вопрос. Будет ли хоть один ящик пустым если вынимать по правилу (*)?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Проведите два мысленных эксперимента.

Опыт 2. Есть счётное число ящиков $B_0, B_1, \ldots$, в каждом из которых перед началом эксперимента лежат все натуральные числа. На шаге $t$ из ящика $B_t$ извлекается число $t$. После завершения всех шагов в каждом из ящиков остаётся счётное количество чисел.

(*)Из ящика $B_t$ извлекаются ВСЕ первые $t$ шаров. Просмотрите процесс у чертика еще раз.

PS Кстати, это тоже интересный вопрос. Будет ли хоть один ящик пустым если вынимать по правилу (*)?

Нет, конечно, не будет. В каждом из ящиков остаётся счётное число шаров. Какая разница, что вынимать: шар с номером $t$ или шары с номерами $0, \ldots, t$. После этого ведь ничего уже не вынимают. Результат тот же.

[Dan B-Yallay]

Пусть имеется счетное множество ленточек, которые будем условно назвать "кандидатами на ((1)).". Это "мысленно" выделенные ленты, на которых чертик напишет на $N$-ном шаге $N$ единичек подряд. На очередном шаге $t$ мама вместе с набором лент дает ему шар $t$. Естественно , одна из лент обязательно является "кандидатом." Чертик (также проделывая все остальные операции ) копирует $t-1$ единичек на нового кандидата на ((1)), ставит на него же очередную $t$ную единичку и выбрасывает только что положенный шар с номером $t$.

Если корзина будет пуста в полдень, то я не вижу причины почему бы одной ленте не быть заполненной единичками.


(Я кажется становлюсь занудой)

PS И, кажется, начинает доходить смысл ваших аргументов.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Пусть имеется счетное множество ленточек, которые будем условно назвать "кандидатами на ((1)).". Это "мысленно" выделенные ленты, на которых чертик напишет на $N$-ном шаге $N$ единичек подряд. На очередном шаге $t$ мама вместе с набором лент дает ему шар $t$.

Ещё раз, только поточнее. Лента называется кандидатом, если

1) существует $N$, такое что на $N$-ом шаге чёртик напишет на ней $N$ единиц подряд

или

2) для любого $N$ чёртик на $N$-ом шаге чёртик напишет на ней $N$ единиц подряд?

Уточните, какой у Вас квантор.

[Dan B-Yallay]

Лента выданная на шаге $N$ - кандидат, если именно на нее чертенок скопирует $N-1$ единичек. Не знаю как это кванторами выразить, чтобы больше не запутать.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Лента выданная на шаге $N$ - кандидат, если именно на нее чертенок скопирует $N-1$ единичек. Не знаю как это кванторами выразить, чтобы больше не запутать.

То есть первая альтернатива, так?

"Кандидат" --- это ведь кандидат на каком-то шаге, а не на всех шагах сразу.

Ну вот есть счётное число "кандидатов". Ну и что? Ни один из них не станет "президентом". В тот момент, когда лента становится кандидатом, на ней стоят одни единички, но на следующем шаге на ней уже появляется нолик. Ленты, которая бы была кандидатом на всех шагах, не существует.

[Dan B-Yallay]

Начинает доходить... Медленно начинает. Но гарантии что "обострения" не будет дать не могу.
Спасибо за терпение и удачи вам.

[Sinus]

Кстати мощность всех последовательностей, состоящих из нуля и единицы, равна континууму...

Лента, на которой написаны одни единицы, имеет такое же право на существование, как и все остальные.

[Профессор Снэйп]

Sinus писал(а):

Кстати мощность всех последовательностей, состоящих из нуля и единицы, равна континууму...

Может, перед тем, как сюда что-то писать, стоит посмотреть, что уже написано в теме? Чтобы не повторять очередной раз одно и то же.

Sinus писал(а):

Лента, на которой написаны одни единицы, имеет такое же право на существование, как и все остальные.

Что значит "имеет право на существование"? И в каком году принята декларация прав ленты? И что бывает тем, кто нарушает ленточную конституцию?

[Sinus]

Профессор Снэйп писал(а):

...

Sinus писал(а):

Лента, на которой написаны одни единицы, имеет такое же право на существование, как и все остальные.

Что значит "имеет право на существование"? И в каком году принята декларация прав ленты? И что бывает тем, кто нарушает ленточную конституцию?

Если вы признаете существование хотя бы одной ленты в полдень, то в полдень будет существовать континуум лент, причем "своя" лента найдется для каждой последовательности из нулей и единиц - я это имел ввиду.

[Профессор Снэйп]

Sinus писал(а):

Если вы признаете существование хотя бы одной ленты в полдень, то в полдень будет существовать континуум лент...

Нет, неверно. Не континнум, а счётное число

Sinus писал(а):

...причем "своя" лента найдется для каждой последовательности из нулей и единиц - я это имел ввиду.

Отнюдь не для каждой, а только для таких, которые содержат конечное число единиц.

Мне что, по второму разу всё повторять? Имейте хотя бы толику уважения к людям. Прежде чем что-то писать в тему, прочитайте, что уже было написано до Вас!

[Sinus]

Профессор Снэйп писал(а):

На каждом шаге у чертёнка конечное число ленточек. Всего счётное число шагов. Объединение счётного числа конечных (даже счётных) множеств счётно

На каждом шаге - да, но нам нужно выяснить количество ленточек в обед. И это количество не равно объединению множеств, состоящих из лент, получившихся на каком-то шаге.

В полдень не будет ни одной конечной ленты, а всякая лента на всяком шаге конечна!

Профессор Снэйп писал(а):

Отнюдь не для каждой, а только для таких, которые содержат конечное число единиц...

Для каждой последовательности, состоящей только из нулей и единиц, можно указать последовательность шагов, на которых она была получена (точнее, указать, на каких шагах она являлась новой, а на каких нет). Поэтому в обед будут записаны все последовательности.

Или я в чем-то неправ?

[MaximKat]

Sinus писал(а):

Для каждой последовательности, состоящей только из нулей и единиц, можно указать последовательность шагов, на которых она была получена (точнее, указать, на каких шагах она являлась новой, а на каких нет). Поэтому в обед будут записаны все последовательности.

и на каком шаге была получена лента, на которой только единицы?

[Dan B-Yallay]

MaximKat писал(а):

Sinus писал(а):

Для каждой последовательности, состоящей только из нулей и единиц, можно указать последовательность шагов, на которых она была получена (точнее, указать, на каких шагах она являлась новой, а на каких нет). Поэтому в обед будут записаны все последовательности.

и на каком шаге была получена лента, на которой только единицы?

Если следовать алгоритму чертика, то на каждом шаге $N$ лента, содержащая только $N$ нулей и лента, содержащая только $N$ единиц строятся одновременно. Поэтому я и запутался, считая вполне резонным, что лента с одними бесконечными нулями как и лента с одними бесконечными единичками будут созданы одновременно.

Разница в том, что нолики пишутся на одной и той же ленте, а единички всегда на новой. Для получения бесконечного числа ноликов достаточно $\omega $ шагов. Чтобы записать на новой ленте $\omega $ единичек, нужен шаг $\omega +1$. Именно в этот момент у чертика появится $2^{\omega}$, то есть несчетное множество ленточек. Но это случится уже "после обеда". .

P.S. Хотя с другой стороны, чтобы записать $\omega $ единичек, нужно сначала скопировать на новую ленту "$\omega -1$" единиц. Если этот ординал определен и бесконечен, то я опять "в соснах"
Так как $\omega $ - предельный ординал, то скорее всего такого "$\omega -1$" не существет.