Периодические функции

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые развейте думу. По определению периодической функции: если функция $y=f(x)$ - периодическая, то для: $\forall x\in D(f), \, \exists T: \, f(x)=f(x+T) $ и отсюда следует, что: $f(x-T) = f(x) =f(x+T) $ , где: $D(f) $ - ОДЗ $y=f(x)$ .
Возник вопрос, следует ли из этого определения, что $y=f(x) $ должна быть определена на всей числовой прямой? Например: если задать функцию так: $\left\{ \begin{array}{rcl} y=\sin x \\ x \in [0, 10 \pi] \\ \end{array} \right.$ , то является ли эта функция периодической на отрезке: $[0, 10 \pi] $ ?

[Red_Herring]

Stensen в сообщении #1163739 писал(а):

По определению периодической функции:

И где Вы такое определение выискали?!!

[Pphantom]

Оно как минимум неаккуратное. Когда Вы даете такое определение, Вы неявно предполагаете, что из $x \in D(f)$ следует $x+T \in D(f)$ (иначе смысл утверждения $f(x) = f(x+T)$ неясен).

А вот если сказать, что $\exists T : \forall x \in D(f) \, f(x)=f(x+T)$ если $f(x+T) \in D(f)$, то получится нечто забавное, что, наверное, в некотором смысле тоже можно именовать периодической функцией.

[DeBill]

Stensen
А что-то у Вас с порядком кванторов не того....
Если в Вашем опред. разрешить $T=0$, то все ф-ции - периодические.
А если не разрешить, то у Вас получится опр. ф-ции, которая каждое значение принимает миниум два раза...

[Stensen]

Да, определение записал не аккуратно, должно быть: если функция $y=f(x)$ - периодическая, то для нее: $\exists T$\ne 0 $ , и из $\forall x\in D(f) $ следует $x + T \in D(f) $ и $ f(x)=f(x+T) .
Тогда из определения следует, что $y=f(x) $ должна быть определена на всей числовой прямой. Т.е. такая функция:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y=\sin x \\ x \in [0, 10 \pi] \\ \end{array} \right.$ , быть периодической не может, ее можно продолжить по периоду с $[0, 10 \pi] $ на всю числовую ось. Верно??

[gris]

Любую функцию, определённую на конечном (полу)отрезке, можно периодически продолжить на всю числовую ось с периодом, равным длине отрезка определения. А потом ещё и ряд Фурье для неё составить, если она достаточно хороша для этого

[Red_Herring]

При Вашем определении область определения функции может быть меньше, чем вся прямая, но должна быть инвариантна относительно сдвига на период. Это может выглядеть экзотикой в одномерном случае (потому что область получается несвязной), но вполне разумно в многомерном.

[Someone]

Stensen в сообщении #1164019 писал(а):

Да, определение записал не аккуратно, должно быть: если функция $y=f(x)$ - периодическая, то для нее: $\exists T\ne 0$$ , и из $\forall x\in D(f)$ следует $x + T \in D(f)$ и $f(x)=f(x+T)$ .

Например, при $T>0$:

$$f(x)=\begin{cases}\text{не определена, если }x<0,\\ \sin x\text{, если }x\geqslant 0.\end{cases}$$

[Stensen]

Someone в сообщении #1164105 писал(а):

Например, при $T>0$:

$$f(x)=\begin{cases}\text{не определена, если }x<0,\\ \sin x\text{, если }x\geqslant 0.\end{cases}$$

Эта функция по моему определению периодическая, а как на самом деле? Или я опять дал не верное определение (из википедии)? Какое же тогда определение правильное? Или не верен мой вывод о бесконечной области определения?

[Someone]

Стандартное определение, которое я заучил ещё в школе, такое: функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T>0$, что для каждого $x$ из её области определения числа $x+T$ и $x-T$ тоже принадлежат области определения, и выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$. Здесь подразумевается, что речь идёт исключительно о действительных числах. В более общем случае можно написать $T\neq 0$.

Однако в специальных случаях возможны отступления от этого определения, но тогда обычно явно указывается область определения, и упоминания о числах $x\pm T$ из определения исключаются. В частности, в операционном исчислении, когда рассматриваются функции, определённые на $[0;+\infty)$, функция из моего примера считается периодической.

[ewert]

Someone в сообщении #1164305 писал(а):

в операционном исчислении, когда рассматриваются функции, определённые на $[0;+\infty)$,

Они там вообще-то определены на всей оси, и это довольно существенно. Просто на левой полуоси они тождественно нулевые. И под периодическими понимаются функции, получающиеся из воистину периодических умножением (всегда подразумеваемым) на Хевисайда.

[Someone]

ewert в сообщении #1164308 писал(а):

Просто на левой полуоси они тождественно нулевые.

Да, так удобнее. Но не обязательно делать именно так.

[Stensen]

Спасибо всем.