Гипотеза n - ных степеней

[Soul Friend]

Решил поиграться со степенями и вывел несколько полезных формул. Для $a^2+b^2=c^2$ :

$$\left(4\cdot \sum_{x=1}^n (x)\right)^2+(2n+1)^2=\left(\left(4\cdot \sum_{x=1}^n (x) \right) +1 \right)^2 $$

меняя значения $n$ получаем соответсвующие ему $abc$.
Далее, для $a^3+b^3+c^3=d^3$ , ну тут проще :

$$(2^n \cdot 3)^3+(2^n \cdot 4)^3+(2^n \cdot 5)^3=(2^n \cdot 6)^3 $$

Напрашивается гипотеза: Если степень суммируемых чисел равна количеству суммируемых чисел, то в некоторых значениях этих чисел можно найти для них решение в такой же степени.
Только вот решение комбинации из 4-х чисел в 4-ой степени не могу найти, может кто знает пример, или контрпример что такое не возможно ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: отсутствует предмет дискуссии.

[Simple Fairy]

Данный вопрос уже исследован, хоть и не полностью.
Пример вот: Гипотеза Эйлера.

UPD. Не заметил, что у вас n+1 переменных и n-ые степени.

[Soul Friend]

спасибо за ссылку. Так, можно сказать, что я нашел частый случай (частично) решения задачи о четырёх кубах? Или нет?

[Simple Fairy]

Soul Friend в сообщении #1161371 писал(а):

спасибо за ссылку. Так, можно сказать, что я нашел частый случай (частично) решения задачи о четырёх кубах? Или нет?

А почему нет? Если да. Думаю, что для этого не нужно быть специалистом, чтобы понять - что вы нашли какую-то серию :)

Но правда эта серия не очень интересна, т.к. на самом деле у вас:
$3^3+4^3+5^3-6^3=0$, а все что остальное вы сделали, домножили на $2^n$, можно было домножить на что угодно и вышло бы примерно тоже. (что угодно в области натуральных чисел).

[Otta]

Гипотеза Эйлера не об этом. Она о том, что никакую степень $k>2$ натурального числа нельзя представить в виде суммы таких же степеней натуральных чисел так, чтобы количество слагаемых в сумме было меньше $k$. Для каких-то степеней она решена (для $k=3$, например) положительно, для каких-то отрицательно, для подавляющего большинства открыта. Но у ТС другая задача. Это проблема о разложении на то же или большее количество слагаемых (куб на три куба, четвертую степень на четыре или более четвертых степеней и т.д.), она тоже для каких-то степеней открыта, для каких-то - нет. Об этом можно посмотреть здесь, Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

Про нее можно посмотреть здесь:
Третьи степени: Задача о четырех кубах или, еще лучше, здесь.

Про четвертую степень - тут.

На том же ресурсе по аналогичным ссылкам есть и про текущее состояние проблемы для более высоких степеней.

Soul Friend в сообщении #1161371 писал(а):

можно сказать, я нашел частый случай (частично) решения задачи о четырёх кубах?

Можно. Ровно один. Сколько их -смотрите по ссылке выше.

А также Вы нашли применение тождеству $(c+1)^2=c^2+ (2c+1)$, в случае, когда $2c+1$ является полным квадратом, заодно несколько пифагоровых троек, и

Soul Friend в сообщении #1161352 писал(а):

$$(2^n \cdot 3)^3+(2^n \cdot 4)^3+(2^n \cdot 5)^3=(2^n \cdot 6)^3 $$

научились размножать решения домножением на общую константу.

Реально же последнее равенство - ровно одно. $3^3+4^3+5^3=6^3$. Нет там серии.

[Soul Friend]

Цитата:

можно было домножить на что угодно и вышло бы примерно тоже. (что угодно в области натуральных чисел).

предполагаю, что кроме $2n$ такой константы не найдется

[Otta]

Ну умножьте на 3. В кубе, конечно.

[Soul Friend]

извините, поторопился. Вы правы

[Soul Friend]

Otta в сообщении #1161377 писал(а):

А также Вы нашли применение тождеству $(c+1)^2=c^2+ (2c+1)$, в случае, когда $2c+1$ является полным квадратом

а то что я , якобы, нашел было известно ранее?

[Soul Friend]

кажется, нашёл исчерпывающий ответ $a^2+b^2=c^2$. Всё оказалось просто, возможно что через неё можно будет решить великую теорему Ферма (но это просто предположение).

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1161938 писал(а):

кажется, нашёл исчерпывающий ответ $a^2+b^2=c^2$. Всё оказалось просто, возможно что через неё можно будет решить великую теорему Ферма (но это просто предположение).

нашел похожую формулу здесь
«Алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора»

[Lia]

Soul Friend в сообщении #1161938 писал(а):

нашёл исчерпывающий ответ $a^2+b^2=c^2$

Soul Friend
Про исчерпывающий ответ можно почитать, например, здесь.
Там же указано, насколько давно это известно.

Soul Friend в сообщении #1161938 писал(а):

можно что через неё можно будет решить великую теорему Ферма

К теореме Ферма это не имеет никакого отношения, она для показателей, больших двух.
Потом, она доказана.

Soul Friend в сообщении #1161869 писал(а):

а то что я , якобы, нашел было известно ранее?

Да, известно. См. ссылку выше. Это одна из пифагоровых троек (где больший катет и гипотенуза отличаются на единицу).

Суммы арифметических прогрессий - как у Вас - никто не считает важным носить в развернутом виде, а наоборот, стремятся свернуть, как только встретят. От того, что Вы распишете выражение в наиболее устрашающем виде, ничего не изменится. По крайней мере, в лучшую сторону.

[Soul Friend]

хотел написать формулу, только почему то \fraq{}{} не работает

[Xaositect]

Потому что не \fraq, а \frac