Сходимость несобственного интеграла

[Bellesimmo]

Доброго времени суток!
Не могу решить следующую задачу:
Дано: $f(x)$ - положительная непрерывная на промежутке $(0, \infty)$. Доказать, что несобственные интегралы

$$\int\limits_{0}^{\infty}f(x)$$

и

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{f(x)}$$

не могут сходиться одновременно.
Я думаю, что можно применить теорему о среднем(функция непрерывная) и критерий сходимости Коши, но не получается найти противоречие(
Может быть есть у кого-то какие-то идеи?

[ewert]

Например, по неравенству Коши-Буняковского: если бы сходились интегралы $\int f\,dx$ и $\int\frac1f\,dx$, то сходился бы и интеграл $\int\sqrt{f}\,\sqrt{\frac1f}\,dx$.

[vladb314]

Или так.
Пусть интеграл

$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$

Тогда

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$

Аналогично из

$$\int_{0}^{+\infty} {\frac{1}{f(x)}dx} < +\infty$$

следует

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0.$$

Дальше ясно.

[Someone]

vladb314 в сообщении #1160323 писал(а):

Пусть интеграл

$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$

Тогда

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$

Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.
Но если дополнительно потребовать, чтобы функция была монотонной, то ваше утверждение будет верным. Однако в условии задачи монотонность не упоминается.

[mihaild]

Можно даже без Коши-Буняковского: если $\int\limits_{0}^\infty f(x)\,dx$ сходится, а $f$ неотрицательна, то мера множества точек, где $f > 1$, конечна, а где $f < 1$ - бесконечна.

[Bellesimmo]

А как доказать, что мера множества, где f>1 конечна?

[--mS--]

От противного.

[ewert]

(Оффтоп)

Мера -- это сложно. К тому же в интегралах Римана никакой меры и нет. А Коши-Буняковский ничего, кроме аксиом скалярного произведения, не требует. И раз уж функции непрерывны, то и вопросов об интегрируемости или о нулевом элементе просто не возникает.

[StaticZero]

Someone в сообщении #1160327 писал(а):

Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.

Это как? Функция ведь положительная, да ещё и непрерывная...
Меня учили, что стремление хвоста к нулю при таких вводных есть необходимое условие.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1160421 писал(а):

Функция ведь положительная, да ещё и непрерывная

Возьмите непрерывные "холмики" максимальной высотой $n$ на $[n; n + 2^{-n}]$, и ноль в остальных точках (и прибавьте к этому $\frac{1}{x^2}$, если хотите строго положительную функцию).

[StaticZero]

(Оффтоп)

Аааааа.... Значит, плохо учился, и монотонность была забыта....

[Bellesimmo]

Спасибо большое! Почему-то мысль о неравенстве Коши-Буняковского не пришла в голову(нестандартная задача), т е я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций на промежутке от нуля до бесконечности?

[vladb314]

Someone в сообщении #1160327 писал(а):

vladb314 в сообщении #1160323 писал(а):

Пусть интеграл

$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$

Тогда

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$

Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.
Но если дополнительно потребовать, чтобы функция была монотонной, то ваше утверждение будет верным. Однако в условии задачи монотонность не упоминается.

Да, конечно. Извиняюсь.

[Brukvalub]

Bellesimmo в сообщении #1160440 писал(а):

я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций на промежутке от нуля до бесконечности?

Зачем? Да и "просто ввожу меру" в этом контексте - весьма смелое утверждение!

[ewert]

Bellesimmo в сообщении #1160440 писал(а):

т е я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций

Во-первых, не меру, а скалярное произведение. Во-вторых, не интегрируемых, а непрерывных (для просто интегрируемых придётся ещё повозиться с корректностью). В-третьих, несобственность там возникнет потом -- критерий Коши оперирует с ограниченными промежутками.