2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 17:48 
Доброго времени суток!
Не могу решить следующую задачу:
Дано: $f(x)$ - положительная непрерывная на промежутке $(0, \infty)$. Доказать, что несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{\infty}f(x)$$ и $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{f(x)}$$ не могут сходиться одновременно.
Я думаю, что можно применить теорему о среднем(функция непрерывная) и критерий сходимости Коши, но не получается найти противоречие(
Может быть есть у кого-то какие-то идеи?

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 18:15 
Например, по неравенству Коши-Буняковского: если бы сходились интегралы $\int f\,dx$ и $\int\frac1f\,dx$, то сходился бы и интеграл $\int\sqrt{f}\,\sqrt{\frac1f}\,dx$.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 18:39 
Аватара пользователя
Или так.
Пусть интеграл
$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$
Тогда
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$
Аналогично из
$$\int_{0}^{+\infty} {\frac{1}{f(x)}dx} < +\infty$$
следует
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = 0.$$
Дальше ясно.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 18:48 
Аватара пользователя
vladb314 в сообщении #1160323 писал(а):
Пусть интеграл
$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$
Тогда
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$
Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.
Но если дополнительно потребовать, чтобы функция была монотонной, то ваше утверждение будет верным. Однако в условии задачи монотонность не упоминается.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 19:07 
Аватара пользователя
Можно даже без Коши-Буняковского: если $\int\limits_{0}^\infty f(x)\,dx$ сходится, а $f$ неотрицательна, то мера множества точек, где $f > 1$, конечна, а где $f < 1$ - бесконечна.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 20:24 
А как доказать, что мера множества, где f>1 конечна?

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 20:36 
Аватара пользователя
От противного.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение16.10.2016, 20:54 

(Оффтоп)

Мера -- это сложно. К тому же в интегралах Римана никакой меры и нет. А Коши-Буняковский ничего, кроме аксиом скалярного произведения, не требует. И раз уж функции непрерывны, то и вопросов об интегрируемости или о нулевом элементе просто не возникает.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 01:50 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1160327 писал(а):
Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.

Это как? Функция ведь положительная, да ещё и непрерывная...
Меня учили, что стремление хвоста к нулю при таких вводных есть необходимое условие.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 03:11 
Аватара пользователя
StaticZero в сообщении #1160421 писал(а):
Функция ведь положительная, да ещё и непрерывная

Возьмите непрерывные "холмики" максимальной высотой $n$ на $[n; n + 2^{-n}]$, и ноль в остальных точках (и прибавьте к этому $\frac{1}{x^2}$, если хотите строго положительную функцию).

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 03:50 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Аааааа.... Значит, плохо учился, и монотонность была забыта.... :oops:

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 06:55 
Спасибо большое! Почему-то мысль о неравенстве Коши-Буняковского не пришла в голову(нестандартная задача), т е я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций на промежутке от нуля до бесконечности?

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 07:10 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1160327 писал(а):
vladb314 в сообщении #1160323 писал(а):
Пусть интеграл
$$\int_{0}^{+\infty} {f(x)dx} < +\infty.$$
Тогда
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$
Это неверно. Функция может быть даже неограниченной на любом промежутке $(a,+\infty)$.
Но если дополнительно потребовать, чтобы функция была монотонной, то ваше утверждение будет верным. Однако в условии задачи монотонность не упоминается.


Да, конечно. Извиняюсь.

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 07:16 
Аватара пользователя
Bellesimmo в сообщении #1160440 писал(а):
я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций на промежутке от нуля до бесконечности?

Зачем? Да и "просто ввожу меру" в этом контексте - весьма смелое утверждение! :shock:

 
 
 
 Re: Сходимость несобственного интеграла
Сообщение17.10.2016, 09:19 
Bellesimmo в сообщении #1160440 писал(а):
т е я просто ввожу меру на линейной пространстве интегрируемых в несобственном смысле функций

Во-первых, не меру, а скалярное произведение. Во-вторых, не интегрируемых, а непрерывных (для просто интегрируемых придётся ещё повозиться с корректностью). В-третьих, несобственность там возникнет потом -- критерий Коши оперирует с ограниченными промежутками.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group