Последняя цифра и другие вопросы

[Simple Fairy]

Я сейчас изучаю теорию чисел и математику и мне не ясны пару вещей, надеюсь, что вы поможете с их освоением:
1. Помнится года полтора назад, я наткнулся на одно утверждение, которое в последствии принял без доказательства, а сейчас вдруг стало интересно понять: 'Последняя цифра числа $a^p$ определяется как $(a \mod 10)^{p \mod 4}$', то что на последнюю цифру числа влияет последняя цифра показателя в общем-то ясно, т.к. разряд то только этот меняется и умножается p раз на себя, но не совсем ясно откуда модуль 4 и почему и что так, конечно можно было бы рассмотреть остатки по модулю 10 последней цифры и определить для p.

2. Математическая индукция... Это то, что казалось бы легко и просто(а может и нет), но мне до сих пор не понятен индукционный переход в чем-то сложнее обычных равенств, например, неравенство Бернулли $(1+p)^n \geq 1+pn, p \geq -1$.
Я делаю так:
1. Базис индукции $ n = 1 ; (1+p)^1 = 1+ p $.
2. Допустим, что верно для всех n, тогда проверим для $n+1$
3. $(1+p)(1+p)^n \geq (1+p)(1+pn) \to (1+p)^{n+1}\geq 1+p(n+1)+p^{2} n $
По идее дальше 'усилятся' неравенство и убирается $p^2 n$, я правда не совсем понимаю, почему это называется усилением, но суть не в этом, я не понимаю переход, мы предположили, что верно для n и сделали переход к $n+1$, получая слева $(1+p)^{n+1}$ мы убеждаемся, что оно верно для всех n вне зависимости от того, что получилось справа или что? Не сказать, что я пытался читать книги на эту тему, но я все равно думаю, что не пойму... Очень долго пытался и на других примерах, но все не идет.

3. Доказательство о том, что $a^e \equiv 1\mod p$, то наименьшее $e$ такое, которое является делителем $p-1$. Насколько я понимаю, то это утверждение очень просто как-то доказывается, но не понимаю как.
Понимаю только то, что если $e$ является делителем $p-1$, то $p-1 = ek+r, k \in \mathbb{Z}; 0\leq r < e$.

[ewert]

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

я правда не совсем понимаю, почему это называется усилением,

Я тоже не понимаю и даже не хочу знать, что такое "усиление". Нормальные люди просто продолжают цепочку неравенств и говорят, что последнее выражение больше или равно тому, что хочется тупо потому, что отбрасываемое слагаемое неотрицательно.

[Simple Fairy]

ewert в сообщении #1160397 писал(а):

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

я правда не совсем понимаю, почему это называется усилением,

Я тоже не понимаю и даже не хочу знать, что такое "усиление". Нормальные люди просто продолжают цепочку неравенств и говорят, что последнее выражение больше или равно тому, что хочется тупо потому, что отбрасываемое слагаемое неотрицательно.

Это в книге Р.Куранта так написано, но я кажется 'въехал' почему так. По транзитивности, A>B, B>C, A>C - это вроде ясно и я не настолько глуп, но я просто не понимаю того, что мы просто превращаем данное неравенство в конструкцию, где индексы с n перешли бы в n+1?

[gris]

1. А это легче проверить практически, чем доказывать. Цифр десять. Ноль, один, пять, шесть при возведении в квадрат оканчиваются на ту же цифру. Четыре и девять — в куб. Три, семь, восемь — в пятую. То есть все цифры при возведении в пятую степень оканчиваются сами на себя.

2. Чисто формально надо было бы начать "переход" с выражения $(1+p)^{n+1}=...$. То есть мы вместо $n$ подставляем $n+1$. Если Вы думаете о доказательстве самого метода, то он не доказывается, а принимается в качестве аксиомы (в аксиоматике нат. чисел Пеано). И метод существует в различных формах.

[Brukvalub]

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

не совсем ясно откуда модуль 4

А вы просто проверьте этот факт для всех цифр.

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

Допустим, что верно для всех n, тогда проверим для $n+1$

Если предположено, что верно для ВСЕХ $n$, то есть для всех натуральных чисел, зачем теперь проверять для $n+1$?

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

Доказательство о том, что $a^e \equiv 1\mod p$, то наименьшее $e$ такое, которое является делителем $p-1$

Интересно, вы сами-то понимаете написанное вами? Наименьший положительный делитель любого натурального числа - это $1$...

[Simple Fairy]

Brukvalub в сообщении #1160400 писал(а):

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

не совсем ясно откуда модуль 4

А вы просто проверьте этот факт для всех цифр.

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

Допустим, что верно для всех n, тогда проверим для $n+1$

Если предположено, что верно для ВСЕХ $n$, то есть для всех натуральных чисел, зачем теперь проверять для $n+1$?

Simple Fairy в сообщении #1160392 писал(а):

Доказательство о том, что $a^e \equiv 1\mod p$, то наименьшее $e$ такое, которое является делителем $p-1$

Интересно, вы сами-то понимаете написанное вами? Наименьший положительный делитель любого натурального числа - это $1$...

Со вторым пунктом согласен, бредово вышло, а с третьим что не так? Я не утверждаю, что мы ищем наименьший натуральный делитель, а такой что при сравнении $ a^e $ с простым $p$, то он обязательно должен быть делителем $p-1$.

[Brukvalub]

Simple Fairy в сообщении #1160401 писал(а):

Со вторым пунктом согласен, бредово вышло, а с третьим что не так?

Руская языка хромает (как у Чехова: "подъезжая к станции, с меня слетела шляпа" ), да и про простоту $p$ в п.3 не написано.

[gris]

Добавлю на всякий случай:
1. В формулировке этого правила стоит оговорить, что показатели степеней у нас натуральные, начинающиеся с $1$. Поэтому мы чисто формально принимаем, что $4\mod 4=4$, а не $0$. Хотя, опять же формально, эта запись совершенно некорректна. Что такое $4 \mod 4$? Это часть формулы сравнения по модулю, но не число. Хотя можно за уши притянуть в дружеской беседе .

Это правило означает то, что последняя цифра натуральной степени любого числа повторяется каждые четыре шага (или чаще-с):
$2\to 4\to 8\to 6\to 2\to 4\to 8\to 6\to 2\to 4\to ...$
$7\to 9\to 3\to 1\to 7\to 9\to 3\to 1\to 7\to 4\to ...$
$8\to 4\to 2\to 6\to 8\to 4\to 2\to 6\to 8\to ...$
$1\to 1\to 1\to 1\to 1\to ...$