Я сейчас изучаю теорию чисел и математику и мне не ясны пару вещей, надеюсь, что вы поможете с их освоением:
1. Помнится года полтора назад, я наткнулся на одно утверждение, которое в последствии принял без доказательства, а сейчас вдруг стало интересно понять: 'Последняя цифра числа

определяется как

', то что на последнюю цифру числа влияет последняя цифра показателя в общем-то ясно, т.к. разряд то только этот меняется и умножается p раз на себя, но не совсем ясно откуда модуль 4 и почему и что так, конечно можно было бы рассмотреть остатки по модулю 10 последней цифры и определить для p.
2. Математическая индукция... Это то, что казалось бы легко и просто(а может и нет), но мне до сих пор не понятен индукционный переход в чем-то сложнее обычных равенств, например, неравенство Бернулли

.
Я делаю так:
1. Базис индукции

.
2. Допустим, что верно для всех n, тогда проверим для

3.

По идее дальше 'усилятся' неравенство и убирается

, я правда не совсем понимаю, почему это называется усилением, но суть не в этом, я не понимаю переход, мы предположили, что верно для n и сделали переход к

, получая слева

мы убеждаемся, что оно верно для всех n вне зависимости от того, что получилось справа или что? Не сказать, что я пытался читать книги на эту тему, но я все равно думаю, что не пойму... Очень долго пытался и на других примерах, но все не идет.
3. Доказательство о том, что

, то наименьшее

такое, которое является делителем

. Насколько я понимаю, то это утверждение очень просто как-то доказывается, но не понимаю как.
Понимаю только то, что если

является делителем

, то

.