Замыкание нигде не плотного множества

[Lister]

Приветствую. Хотелось бы попросить помощи в решении следующей задачи:

Пусть $E$ - нигде не плотное множество меры нуль (мера Лебега) на отрезке $[0,1]$. Должно ли его замыкание $\overline{E}$ быть множеством меры нуль?

Этой задаче предшествовала другая, в которой требовалось проверить выполнение вышеуказанного свойства для произвольного заданного на отрезке $[0,1]$ множества нулевой меры; в этом случае я просто построил контрпример, показав, что для произвольного множества данное свойство (мера $\overline{E} =0$ ) не выполняется. Однако в случае нигде не плотного множества, к сожалению, на ум ничего не приходит - контрпример подобрать не получается, а для доказательства - не знаю, с чего начать. Буду благодарен за помощь.

[AD]

Lister писал(а):

Пусть $E$ - нигде не плотное множество меры нуль (мера Лебега) на отрезке $[0,1]$. Должно ли его замыкание $\overline{E}$ быть множеством меры нуль?

Зацените множество концов смежных интервалов канторова множества положительной меры.

[Lister]

Cпасибо, как раз то, что нужно! Возможно, кто-нибудь знает, где можно найти доказательство теоремы Лузина о критерии измеримости функции? Просмотрел несколько достаточно известных книг по теории функций - найти нигде не могу. Либо теоремы вообще нет, либо для ее доказательства рекомендуется использовать теорему Егорова. У меня возникают некоторые затруднения, поэтому хотелось бы найти полное доказательство и в нем разобраться.

[Gafield]

В здешней библиотеке есть поиск по индексам

[nckg]

AD писал(а):

Зацените множество концов смежных интервалов канторова множества положительной меры.

А можно поподробнее - какое именно множество имеется ввиду?

Ведь само канторово множество замкнуто и имеет меру нуль

[AD]

nckg писал(а):

А можно поподробнее - какое именно множество имеется ввиду?

Если выбрасывать интервалы аккуратно, чтобы сумма их длин сходилось к какому-нибудь числу, меньшему единицы, то получится некоторое нигде не плотное множество положительной меры; оно и имеется ввиду.

[Brukvalub]

Аналогичные классическому Канторову построения приводят ко множествам положительной меры - достаточно на каждом шаге поменьше выбрасывать.

[AD]

Lister писал(а):

Возможно, кто-нибудь знает, где можно найти доказательство теоремы Лузина о критерии измеримости функции?

Есть в книжке Дьяченко, Ульянов -- Мера и интеграл*. Даже для функций на $\mathbb{R}^n$.
____________
* Ссылка - ну уж какая есть, sorry.

P.S. [добавил потом] Мда, ссылка умерла.

[добавил еще потом] Вот, короче. http://factorialco.com/annot_0550.htm

[Lister]

Всем спасибо за помощь, с доказательством тоже разобрался.