Занятная головоломка

[ananova]

(Оффтоп)

Похоже на фокусника, который говорит - Следите за руками!

[binki]

Swedka говорит докажите, что

$$P_i^pb^p \ne A^p+B^p$$

Было обещано, что докажем. Так что, как сказал ananova, следите за логикой.
Наше последнее равенство

$$P_i^pb^p=A^p+[(a^pb^p-A^p)+Nb^p]\qquad \eqno (6)$$

Из (6)

$$B^p=[(a^pb^p-A^p)+Nb^p] \qquad \eqno (7)$$

Если есть решения уравнения Ферма, то есть и минимальное из них. Пусть это будет $(P_ib,A,B)$.
Без нарушения общности, пусть $B$- наименьшее из чисел тройки решения.
ananova, здесь будет фокус с двумя числами.
Сумма двух чисел $(C+D); \qquad D>C$- есть степень натурального числа, если существует $E$, такое что

$$C+E=F^p; \qquad D-E=S^p-F^p; $$

$$C+D=(C+E)+(D-E)=F^p+(S^p-F^p)=S^p \qquad \eqno (8)$$

Убийственный пример $125+91=216; \qquad E=0$
А здесь $107+109=(107+18)+(109-18)=125+91=216; \qquad E=18$
Учтя такое замечательное свойство, перепишем (7)

$$B^p=C+D;\qquad C=(a^pb^p-A^p); \qquad D=Nb^p \qquad \eqno (9)$$

Тогда $E\ne 0$. Так как $C+E=C+0=F^p=(a^pb^p-A^p)$. Появлялась бы новая тройка решения $(ab, A,F)$ меньшая минимального решения $(P_ib,A,B)$.
Число $B^p$ не лыком шито. Для него есть и минимальное число $(C)$.
Для (9) $E\ne 0$,но тогда нарушается минимальность числа $(C)$ .

$$B^p=C+D=(C-E)+(D+E)=C_1+D_1; \qquad C_1<C$$

Ну вот (7) не может существовать. Что и требовалось доказать.

[ananova]

Для убедительности, повторите это же доказательство, когда $P_i^p=N_1+N_2$, где $N_1, N_2$ не являются натуральными числами в степени $p$.

[shwedka]

binki в сообщении #1158810 писал(а):

Число $B^p$ не лыком шито. Для него есть и минимальное число $(C)$.

Стоп!
Здесь Вы переходите на скороговорку. Что, вообще, такое: $C$ 'для числа $B^p$'? Такого понятия не было.
минимальное из каких чисел?
Пишите подробно, например,
Пусть $(C)$ - минимальное из чисел $g$ таких, что...

и далее

binki в сообщении #1158810 писал(а):

Для (9) $E\ne 0$,но тогда нарушается минимальность числа $(C)$ .

$$B^p=C+D=(C-E)+(D+E)=C_1+D_1; \qquad C_1<C$$

Ну вот (7) не может существовать. Что и требовалось доказать.

Где-то пропало доказательство того, что $C_1,D_1$ - степени. А без того -- никуда.

[binki]

shwedka в сообщении #1158829 писал(а):

Что, вообще, такое: $C$ 'для числа $B^p$'? Такого понятия не было.
минимальное из каких чисел?

Подметем мусор. Скорректируем неудачные обозначения. Да и от кубов не будем убегать. Применяемые формулы общие для любого простого показателя. Поэтому достаточно показать идею на кубах, чтобы потом сказать, - всё, всё, всё!
Введем обозначения условий
$\boxed {\exists}$ - есть в натуральных числах решения уравнения Ферма с простым показателем > 2 .

$\boxed {\not \exists}$ - нет натуральных решений уравнения Ферма с простым показателем >2.

$\boxed {\exists {\min}}$ - если $\boxed {\exists}$, то есть и минимальное решение.
Поехали.
$\boxed {\exists {\min}}$ $(C,A,B); \quad C=mP_i; \quad (C,A,B,m) \in \mathbb {N} \qquad (P_i)$ - простое число.

$$C^3=A^3+B^3 \qquad \qquad \eqno (1)$$

- это предположение.
Зато есть всегда справедливое

$$C^3=m^3+m^3N=A^3+[(m^3-A^3)+m^3N], \eqno (2) $$

$(A)$ не делится на $m$
Если $\boxed{\exists}$, то

$$ [m^3-A^3+m^3N]=B^3 \qquad \eqno (3)$$

Сумма $[(m^3-A^3)+ m^3N]$ , будет кубом натурального числа, тогда и только тогда, если найдется такое число $(E)$, что

$$(m^3-A^3)-E=F^3; \qquad m^3N+E=B^3-F^3$$

$(E\ne 0)$, иначе появляется равенство

$$(m^3-A^3)-E=(m^3-A^3)-0=F^3$$

с тройкой решения $(m,A,F)$ меньшей минимального решения $(C,A,B)$. Чего не может быть.
Но $(E> 0)$ тоже не может быть. Уменьшилось бы уже минимальное значение $(m^3-A^3)$. Ведь $(m)$ -множитель числа $(C )$ минимальной тройки решения, а $(A)$ - одно из чисел минимальной тройки решения, поэтому $(m^3-A^3)$ полностью определяется числами минимального решения. Значит (3) -вранье. И $\boxed {\not \exists}$. $\blacksquare$

[shwedka]

binki в сообщении #1159561 писал(а):

Но $(E> 0)$ тоже не может быть. Уменьшилось бы уже минимальное значение $(m^3-A^3)$

Нигде до этого места не заявлялось, что $(m^3-A^3)$ минимально. Требовалось лишь, чтобы тройка $C,A,B$ была минимальной.
$(m^3-A^3)$ минимально среди чего? И где Вы доказали, что $(m^3-A^3)$ положительно?
И по сравнению с чем оно бы уменьшилось.

повторяете с самого начала.

[vasili]

Уважаемый binki! Если $E = 0$, то $m^3 - A^3 = F_1^3$, а если $E > 0$, то $m^3 - A^3 = F_2^3 + E$

В каком случае $m^3 - A^3$ уменьшилось?

[binki]

shwedka в сообщении #1159571 писал(а):

$(m^3-A^3)$ минимально среди чего? И где Вы доказали, что $(m^3-A^3)$ положительно?

vasili в сообщении #1159629 писал(а):

Если $E = 0$, то $m^3 - A^3 = F_1^3$, а если $E > 0$, то $m^3 - A^3 = F_2^3 + E$

В каком случае $m^3 - A^3$ уменьшилось?

Двое против одного. И по самому больному.
$m^3 - A^3$ -минимально, но отнимать числа от этого выражения не возбраняется и не влечет пока к каким-то противоречиям. Головоломка снова усложнилась. Это хорошо.
Пока что идея такая $m^3 - A^3-E=B^3-F^3;\qquad m^3N+E=F^3$. В этом случае появляется новая разность кубов $B^3-F^3$. Надо исхитриться и найти, каким образом новая разность влияет на минимальное решение. Показано же, что $E\ne 0$. Осталось показать, что $(E)$ не может быть целым числом.