Найти порядок группы

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить.

Пусть $G$ - группа, порожденная элементами $a$ и $b$, для которых выполняются соотношения $ab = ba$, $a^2 = b^2$, $a^4 b^4 = e$. Найти порядок группы $G$. Является ли эта группа циклической?

Удается лишь только доказать, что порядок $\leqslant 40$.

[Профессор Снэйп]

Из $ab = ba$ следует, что группа абелева и что любой её элемент представляется в виде $a^kb^m$. Из остальных двух соотношений вытекает, что можно считать $|k| \leqslant 1$ и $0 \leqslant b \leqslant 7$. Таким образом, порядок группы уже $\leqslant 24$.

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.

Получается, что возможностей для $G$ не так уж и много.

1) $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$;
2) $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$;
3) $G = \mathbb{Z}_4^2$;
4) $G = \mathbb{Z}_8$;
5) $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$.

В этом перечислении только 3 циклических группы: $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_4$ и $\mathbb{Z}_8$. Наверное, надо просто посмотреть, что ни одна из них не подходит (или, наоборот, какая-то подходит).

[Хет Зиф]

Ну первое что мы делаем это убеждаемся в том что:
$a^{8}=e$ и $b^{8}=e$.
Далее есть элементы:
$e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7$
и $b,ab,a^2b,a^3b,a^4b,a^5b,a^6b,a^7b$
Уже 16 порядок.

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

$e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7$
и $b,ab,a^2b,a^3b,a^4b,a^5b,a^6b,a^7b$
Уже 16 порядок.

Вот это не совсем понял. Почему эти элементы должны быть различны?

[Хет Зиф]

Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.

[Профессор Снэйп]

Вроде понял. Возьмём группу $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$, $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$. Все соотношения выполняются... Группа явно порождается этими двумя элементами.

Кроме того, $b^4 \neq e$. Значит, из определяющих соотношений не следует $b_4 = e$ и остаётся лишь 2 варианта: $\mathbb{Z}_8$ и $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$.

Ну и ясно, что второй вариант --- это искомая группа. Значит, правильный ответ: не циклическая.

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Хет Зиф писал(а):

Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.

Тогда я не понял фразу "уже 16 порядок". Может, Вы хотели сказать: "уже порядок $\leqslant 16$"?

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Да я именно это и хотел сказать.

Цитата:

остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}\times Z_{8}$.

Ну да, это сразу следует если из перечисленных мной элементов нет равных. Ну а также что если мы не считаем возможность $a=b$.

[ShMaxG]

Профессор Снэйп писал(а):

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.

Почему? А что значат обозначения $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$ и $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$?

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
Да я именно это и хотел сказать.

Цитата:

остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}\times Z_{8}$.

Ну да, это сразу следует если из перечисленных мной элементов нет равных. Ну а также что если мы не считаем возможность $a=b$.

То, что среди перечисленных Вами элементов нет равных, надо доказывать. Вы, когда делали своё утверждение, этого не доказали.

Добавлено спустя 51 секунду:

ShMaxG писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.

Почему? А что значат обозначения $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$ и $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$?

Что именно у Вас вызывает затруднение. То, что $x^8=e$ понятно?

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Да, можно доказать это пристальным всматриванием

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
Да, можно доказать это пристальным всматриванием

Пристальный взгляд к делу не пришьёшь

На самом деле, конечно, пример $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$, $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$ доказывает всё, что надо.

[ShMaxG]

Профессор Снэйп писал(а):

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
То, что $x^8=e$ понятно?

Да, а как порядок элемента связан с порядком группы?

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Не ну группа может быть и меньшего порядка .
То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$.

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

ShMaxG
Порядок элемента делит порядок группы

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
Не ну группа может быть и меньшего порядка .
То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$.

Бр... Вы порядок немножко у себя на чердаке наведите (без обид )

Правильно сказать так: то, что в моём примере $a^4 \neq e$ говорит о том, что $a^4=e$ не следует из определяющих соотношений. И, значит, $a^4 \neq e$ в той группе, которая этими определяющими соотношениями задаётся.

[ShMaxG]

Так, ребят, простите меня за тормознутость, я за вами не успеваю) Скажите пожалуйста только что за обозначения во втором сообщении и какой отсев происходит