2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найти порядок группы
Сообщение28.04.2008, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Помогите пожалуйста решить.

Пусть $G$ - группа, порожденная элементами $a$ и $b$, для которых выполняются соотношения $ab = ba$, $a^2  = b^2$, $a^4 b^4  = e$. Найти порядок группы $G$. Является ли эта группа циклической?

Удается лишь только доказать, что порядок $\leqslant 40$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:03 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Из $ab = ba$ следует, что группа абелева и что любой её элемент представляется в виде $a^kb^m$. Из остальных двух соотношений вытекает, что можно считать $|k| \leqslant 1$ и $0 \leqslant b \leqslant 7$. Таким образом, порядок группы уже $\leqslant 24$.

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.

Получается, что возможностей для $G$ не так уж и много.

1) $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$;
2) $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$;
3) $G = \mathbb{Z}_4^2$;
4) $G = \mathbb{Z}_8$;
5) $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$.

В этом перечислении только 3 циклических группы: $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_4$ и $\mathbb{Z}_8$. Наверное, надо просто посмотреть, что ни одна из них не подходит (или, наоборот, какая-то подходит).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Ну первое что мы делаем это убеждаемся в том что:
$a^{8}=e$ и $b^{8}=e$.
Далее есть элементы:
$e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7$
и $b,ab,a^2b,a^3b,a^4b,a^5b,a^6b,a^7b$
Уже 16 порядок.

:wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:21 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хет Зиф писал(а):
$e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7$
и $b,ab,a^2b,a^3b,a^4b,a^5b,a^6b,a^7b$
Уже 16 порядок.

:wink:


Вот это не совсем понял. Почему эти элементы должны быть различны?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:34 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вроде понял. Возьмём группу $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$, $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$. Все соотношения выполняются... Группа явно порождается этими двумя элементами.

Кроме того, $b^4 \neq e$. Значит, из определяющих соотношений не следует $b_4 = e$ и остаётся лишь 2 варианта: $\mathbb{Z}_8$ и $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$.

Ну и ясно, что второй вариант --- это искомая группа. Значит, правильный ответ: не циклическая.

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Хет Зиф писал(а):
Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.


Тогда я не понял фразу "уже 16 порядок". Может, Вы хотели сказать: "уже порядок $\leqslant 16$"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Профессор Снэйп
Да я именно это и хотел сказать.
Цитата:
остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}\times Z_{8}$.

Ну да, это сразу следует если из перечисленных мной элементов нет равных. Ну а также что если мы не считаем возможность $a=b$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Профессор Снэйп писал(а):

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.


Почему? А что значат обозначения $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$ и $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:44 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хет Зиф писал(а):
Профессор Снэйп
Да я именно это и хотел сказать.
Цитата:
остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}\times Z_{8}$.

Ну да, это сразу следует если из перечисленных мной элементов нет равных. Ну а также что если мы не считаем возможность $a=b$. :wink:


То, что среди перечисленных Вами элементов нет равных, надо доказывать. Вы, когда делали своё утверждение, этого не доказали.

Добавлено спустя 51 секунду:

ShMaxG писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):

Далее, для любого $x \in G$ справедливо $x^8=e$. Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, $\leqslant 16$.


Почему? А что значат обозначения $G = \mathbb{Z}_2^k$, $k=1,2,3,4$ и $G = \mathbb{Z}_2^k \times \mathbb{Z}_4$, $k=0,1,2$?


Что именно у Вас вызывает затруднение. То, что $x^8=e$ понятно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Профессор Снэйп
Да, можно доказать это пристальным всматриванием :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:47 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хет Зиф писал(а):
Профессор Снэйп
Да, можно доказать это пристальным всматриванием :D


Пристальный взгляд к делу не пришьёшь :)

На самом деле, конечно, пример $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$, $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$ доказывает всё, что надо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Профессор Снэйп писал(а):
Хет Зиф писал(а):
Профессор Снэйп
То, что $x^8=e$ понятно?


Да, а как порядок элемента связан с порядком группы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Профессор Снэйп
Не ну группа может быть и меньшего порядка .
То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$. :wink:

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

ShMaxG
Порядок элемента делит порядок группы :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:52 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хет Зиф писал(а):
Профессор Снэйп
Не ну группа может быть и меньшего порядка .
То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$. :wink:


Бр... Вы порядок немножко у себя на чердаке наведите (без обид :) )

Правильно сказать так: то, что в моём примере $a^4 \neq e$ говорит о том, что $a^4=e$ не следует из определяющих соотношений. И, значит, $a^4 \neq e$ в той группе, которая этими определяющими соотношениями задаётся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Так, ребят, простите меня за тормознутость, я за вами не успеваю) Скажите пожалуйста только что за обозначения во втором сообщении и какой отсев происходит

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group