Найти порядок группы

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
То, что $x^8=e$ понятно?

Да, а как порядок элемента связан с порядком группы?

Есть такая теорема: если $x^n = e$ для любого $x \in G$, то $|G|$ делит некоторую степень $n$.

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Вы печатаете сообщения быстрее чем я успеваю наводить порядок у себя на чердаке
Я лишь хотел сказть что ответ задачи, представляет собой список групп: начиная с тривиальной, далее $Z_{2}\times Z_{2}$ и.т.д.

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
Вы печатаете сообщения быстрее чем я успеваю наводить порядок у себя на чердаке
Я лишь хотел сказть что ответ задачи, представляет собой список групп: начиная с тривиальной, далее $Z_{2}\times Z_{2}$ и.т.д.

Нет, ответ к задаче --- это группа $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$. Группа, заданная порождающими и системой определяющих соотношений, задаётся единственным образом.

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

ShMaxG писал(а):

Так, ребят, простите меня за тормознутость, я за вами не успеваю) Скажите пожалуйста только что за обозначения во втором сообщении и какой отсев происходит

Там во втором сообщении много лишнего было. Вы сейчас над этим голову не парьте.

Нужно только вот что:

1) $|G| \leqslant 16$;
2) Порождающие $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$ группы $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$ удовлетворяют всем определяющим соотношениям и эта группа имеет порядок $16$.

Что именно из этих двух пунктов не понятно?

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Ладно, согласен.

[ShMaxG]

Т.е. только одна группа может удовлетворять соотношениям и мы ее интуитивно нашли? И что за группа

\[ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8 \]

?

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

И что за группа

\[ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8 \]

?

Кольцо $\mathbb{Z}_n$ вычетов по модулю $n$ знаете? Если забыть, что на нём определено умножение, то останется группа по сложению

Вот мы берём две таких группы: $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_8$ и устраиваем их декартово произведение. Как произведение групп определяется знаете?

[ShMaxG]

А, понятно. И все же, данному соотношению только одна группа может удовлетворять, т.е. не существует другой группы, удовлетворяющей данным соотношениям?

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

А, понятно. И все же, данному соотношению только одна группа может удовлетворять, т.е. не существует другой группы, удовлетворяющей данным соотношениям?

Ну, не знаю, как на это ответить... Уточните вопрос.

Или лучше сделаем так: напишите определение того, что значит группа задаётся системой порождающих элементов и определяющих соотношений. А то Ваш вопрос наводит на мысль, что Вы основное определение топика плохо знаете.

[ShMaxG]

Ну, если я возьму группу изоморфной

\[ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8 \]

, то она тоже будет удовлетворять условию задачи?

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Ну, если я возьму группу изоморфной

\[ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8 \]

, то она тоже будет удовлетворять условию задачи?

Да, группа $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$ --- это правильный ответ к задаче.

Но!... есть и другие группы, у которых пара образующих элементов удовлетворяет данным определяющим соотношениям. К примеру, в единичной группе $\{ e \}$ можно взять $a=b=e$ и все соотношения выполнятся Однако это неправильный ответ.

Короче, Вы так и не дали мне определение, которое я просил. Так что я не знаю, понимаете Вы его или нет. А без этого весь разговор лишён смысла.

[ShMaxG]

Хорошо, я понимаю так. Подмножество S элементов группы G таких, что каждый элемент группы G можно выразить через произведение элементов группы S и их обратных называется множеством порождающих группы G. Любые уравнения, которым удовлетворяют порождающие называются соотношениями. Если некоторая группа порождается подмножеством S и существует некоторое множество соотношений, такое что любое соотношение между элементами в S может быть через них выведено, то мы называем эти порождающие и соотношения представлением G.

Добавлено спустя 27 минут 5 секунд:

Ну хорошо, все равно спасибо огромное за ответы, я думаю, я разберусь со всем этим) Спасибо.

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Хорошо, я понимаю так. Подмножество S элементов группы G таких, что каждый элемент группы G можно выразить через произведение элементов группы S и их обратных называется множеством порождающих группы G. Любые уравнения, которым удовлетворяют порождающие называются соотношениями. Если некоторая группа порождается подмножеством S и существует некоторое множество соотношений, такое что любое соотношение между элементами в S может быть через них выведено, то мы называем эти порождающие и соотношения представлением G.

Ну вроде верно. Ключевое слово я выделил у Вас жирным шрифтом.

Теперь смотрите. Мы берём пример группы $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$, в которой элементы $a=(0,1)$ и $b=(1,1)$ являются порождающими, удовлетворяющими всем нашим соотношениям. В этой группе элементы $a^0, \ldots, a^7, ba^0, \ldots, ba^7$ различны. Значит, равенство любой пары этих элементов нельзя вывести из тех соотношений, которые фигурируют в условии задачи. Таким образом, группа, порядок которой надо найти, должна иметь не менее чем $16$ различных элементов.

Однако перед этим мы доказали, в ней не более чем $16$ элементов. Какой отсюда следует ответ на вопрос о порядке группы $G$?

Думаю, что в этом и в остальном Вы прекрасно разберётесь

[ShMaxG]

Аааа, вооо. Все, теперь все понятно. Спасибо большое!!

[lofar]

В случае абелевых групп не обязательно пользоваться ad hoc решениями --- имеется простой общий алгоритм.

Теорема 1. Пусть абелева группа $G$ задана $n$ образующими $a_1, \ldots, a_n$ и $k$ сотношениями

$$\begin{array}{c} a_1^{\alpha_{11}}\cdots a_n^{\alpha_{1n}}=e\\ \dotfill\\ a_1^{\alpha_{k1}}\cdots a_n^{\alpha_{kn}}=e \end{array}$$

тогда $G$ изоморфна факторгруппе $\mathbb Z^n/M$, где $M$ --- подгруппа в $\mathbb Z^n$, порожденная строками матрицы

$$R=\left(\begin{array}{ccc} \alpha_{11}& \cdots & \alpha_{1n}\\ \multicolumn{3}{c}{\dotfill} \\ \alpha_{k1} & \cdots & \alpha_{kn} \end{array}\right)$$

Теорема 2. Всякую целочисленную матрицу можно целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов привести к виду (на пустых местах стоят нули)

$$D=\left(\begin{array}{ccccc} d_1&&&&\\ &d_2&&&\\ &&\ddots&&\\ &&&d_s&\\ &&&&\qquad \end{array}\right)$$

где $1\leqslant d_1|d_2|\ldots|d_s$ ($a|b$ означает "$a$ делит $b$"). Такая форма единственна, назовем ее канонической формой исходной целочисленной матрицы.

Теорема 3. В предыдущих обозначениях, если $D$ --- каноническая форма матрицы $R$, то $G\cong\mathbb Z^n/M\cong\mathbb Z_{d_1}\oplus\ldots\mathbb Z_{d_s}$.

В Вашем случае $R=\left(\begin{array}{cc}2&-2\\4&4\end{array}\right)$, ясно, что канонической формой этой матрицы будет $D=\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&8\end{array}\right)$. Значит исходная группа изоморфна $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_8$ (что, естественно, совпадает с ответом, который дал Профессор Снейп).

[bot]

Хет Зиф писал(а):

Я лишь хотел сказать что ответ задачи, представляет собой список групп: начиная с тривиальной, далее $\mathbb Z_2$, $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$ и.т.д.

Обращаю внимание участников на корневое сообщение, в нём не говорится, что указанные соотношения являются определяющими - они только выполняются. Из группы, в которой данные соотношения являются определяющими, имеется гомоморфизм в группу, в которой они выполняются.
Значит группа, в которой выполняются указанные соотношения, является фактор-группой группы $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_8$, в том числе может быть и нециклической (3 возможности).