Образующий элемент бесконечной группы

[student1138]

Здравствуйте.

Согласно определению, если любой элемент $g \in G$ группы может записывается в виде $g = a^n$, то $G = \left\langle a \right\rangle$ - циклическая группа с образующим $a$. Или более простыми словами из википедии:

Цитата:

Циклическая группа — группа $(G,\cdot )$, которая может быть порождена одним элементом $a$

Для конечных групп действительно любой элемент образует подгруппу т.к. среди его положительных степеней будет и нейтральный элемент и все обратные элементы.

Однако в бесконечной группе одними только положительными степенями не обойтись. Но использование отрицательных степеней $a$ означает что мы используем обратный к $a$ элемент. Но тогда "образует" группу элемент $a$ только вместе с обратным к самому себе. Т.е. образущими группы являются оба этих элемента а не один только $a$.

В общем вопрос такой: правильно я понимаю когда говорят об образующем $a$, подразумевают его вместе с $a^{-1}$?

Почему я задался этим вопросом. В учебнике Кострикина делается такое утверждение (цитирую дословно):

Цитата:

Порядок любого элемента $a \in G$ ($G$ - абстрактная группа) равен $Card \left\langle a \right\rangle$

Причем, для бесконечных групп автор даже отказывается это доказывать, опять цитата:

Цитата:

В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего

Но вот тут я прихожу в замешательство. Ведь если, как утверждает автор, $G$ - абстрактная группа, а $a$ - любой ее элемент, то совсем не обязательно что он сам по себе образует подгруппу. Например в $(Z, +)$. Элемент $2$ один не образует подгруппу, а образуют ее только $2$ и $-2$. Отсюда возникает вопрос, который я сформулировал выше.

[Xaositect]

Да, когда говорят о порождающих элементах, то разрешается использовать обращение.

student1138 в сообщении #1158401 писал(а):

Согласно определению, если любой элемент $g \in G$ группы может записывается в виде $g = a^n$, то $G = \left\langle a \right\rangle$ - циклическая группа с образующим $a$.

Согласно определению, здесь $n$ целое.

И когда говорят о порожденных подгруппах, то подгруппа порожденная элементами $a_1,\dots,a_n$ - это минимальная содержащая изх подгруппа. Там будут и обратные элементы $a_i^{-1}$, и более сложные вещи типа $(a_1 (a_2 a_3)^{-3} a_3^5 a_2)^{-1}$.

student1138 в сообщении #1158401 писал(а):

Но вот тут я прихожу в замешательство. Ведь если, как утверждает автор, $G$ - абстрактная группа, а $a$ - любой ее элемент, то совсем не обязательно что он сам по себе образует подгруппу. Например в $(Z, +)$. Элемент $2$ один не образует подгруппу, а образуют ее только $2$ и $-2$. Отсюда возникает вопрос, который я сформулировал выше.

Вы, наверно, хотели сказать "порождает", а не "образует". Элемент $2$ порождает всю подгруппу $2\mathbb{Z} = \{\dots -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\}$

[student1138]

Цитата:

И когда говорят о порожденных подгруппах, то подгруппа порожденная элементами $a_1,\dots,a_n$ - это минимальная содержащая изх подгруппа. Там будут и обратные элементы $a_i^{-1}$, и более сложные вещи типа $(a_1 (a_2 a_3)^{-3} a_3^5 a_2)^{-1}$.

Здесь вы пишете не со всем о том. По-моему вы пишете о порождающем множестве. Довольно близкое понятие и насчет него у меня тоже было большое замешательство которое успешно разрешили в этом треде topic107239.html (с которым я еще раз ознакомился прежде чем писать этот вопрос).

Но образующий элемент определяется по-другому. Т.е. его определение отличается от определения порождающего множества из одного элемента $a$. Порождает он группу или образует не суть важно. Важно что в некоторых случаях чтобы ее породить мы должны привлечь не только его один но и обратный к нему. Что конечно подразумевается при использовании целых степеней.

Цитата:

Да, когда говорят о порождающих элементах, то разрешается использовать обращение.

В принципе вы ответили на мой вопрос. Т.е. правильно я понимаю когда говорят "образующий элемент", надо в уме добавлять "или обратный к нему", грубо говоря?

[Xaositect]

Просто не говорят "элемент образует группу", говорят только "элемент является образующим" и "элемент порождает группу".

А у Кострикина определение вот такое:

Кострикин писал(а):

Если любой элемент $g \in G$ записывается в виде $g = a^n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то говорят, что $G = \left< a \right>$ — циклическая группа с образующим $a$ (или циклическая группа, порождённая элементом $a$).

Заметьте, что $n\in \mathbb{Z}$, то есть отрицательные показатели разрешаются.

[student1138]

Цитата:

Заметьте, что $n\in \mathbb{Z}$, то есть отрицательные показатели разрешаются.

Я заметил, и вроде технически все правильно. Но почему-то у меня внутрениий протест против такого определения и этот протест не проходит.
Может потому что тут какая-то рассогласованность с конечными группами ощущается? Т.к.:
1) В конечной группе любой элемент образует циклическую подгруппу.
2) В бесконечной группе чтобы гарантированно образовать циклическую подгруппу из любого элемента мы должны брать этот элемент вместе с обратным.

Вот. В бесконечных группах требования обратного есть а в конечных - нет (обратный сам появится как одна из положительных степеней).

[user14284]

student1138 в сообщении #1158415 писал(а):

Т.е. его определение отличается от определения порождающего множества из одного элемента $a$.

Определение. Группа $H\subseteq G$ порождена множеством $S\subseteq G$, если $H$ -- минимальная подгруппа $G$, содержающая $S$.

Обратите внимание на выделенное слово и вспомните, что требование наличия обратного элемента заложено в определение группы. Если $S$ состоит из одного элемента, то ничего принципиально не меняется, только вместо $H=\langle\{a\}\rangle$ договариваются писать $H=\langle a\rangle$. Также ничего принципиально не меняется, будь то $G$ или $H$ конечными или бесконечными.

[Xaositect]

student1138 в сообщении #1158418 писал(а):

Я заметил, и вроде технически все правильно. Но почему-то у меня внутрениий протест против такого определения и этот протест не проходит.

Ну, диссонанс когда-нибудь пройдет, наверное. Ведь если мы говорим про группы, то обратные элементы все равно всегда имеются в виду.
Так что это скорее не проблема бесконечного случая, а наоборот, в конечном случае нам сильно везет, и обратный получается сам собой.

[AV_77]

Если определять более строго, то группа - это множество $G$ с двумя операциями - бинарной операцией $(a, b) \mapsto ab$ и унарной операцией $a \mapsto a^{-1}$ (иногда выделяют еще третью нульарную операцию - взятие единицы). В соответствии с этим подгруппа должна быть замкнута относительно обеих этих операций. Поэтому вместе с элементом $a$ подгруппа обязательно содержит и $a^{-1}$.

[student1138]

Xaositect в сообщении #1158424 писал(а):

student1138 в сообщении #1158418 писал(а):

Я заметил, и вроде технически все правильно. Но почему-то у меня внутрениий протест против такого определения и этот протест не проходит.

Ну, диссонанс когда-нибудь пройдет, наверное. Ведь если мы говорим про группы, то обратные элементы все равно всегда имеются в виду.

Спасибо, буду иметь это ввиду