Порождающее множество группы

[student1138]

Добрый день.

Пытаюсь разобраться в понятии порождающего множества. Чувствую, что не до конца уловил суть понятия.
В общем я себе представляю процедуру "порождения" группы множеством следующим образом. Берем элементы множества и перемножаем их во всевозможных комбинациях. Получается что порождающие множество - это что-то вроде системы векторов, а группа - что-то вроде линейной оболочки этой системы.

Но не все получается гладко:

1) Должно ли порождающее множество содержать к каждому своему элементу также обратный к нему? Или обратные элементы могут быть вне множества? Согласно определению вроде бы не должно но тогда не понятно почему множество называется порождающим, ведь для того чтобы "породить" группу мы должны использовать элементы не только из этого множества. И кроме того не понятно, а почему мы вообще надеемся что обратный элемент найдется. А вдруг его нет?

2) Должно ли порождающее множество содержать единицу? Или она в любом случае появится как произведение любого элемента и обратного к нему? А если порождающее множество пусто, почему по определению считают, что тогда группа состоит из одной единицы? И еще более дурацкий вопрос: откуда вообще берется единица в группе? Должны быть какие-то условия чтобы она появилась (например существование хотя бы одного элемента и обратного к нему) или она там всегда есть наподобие того как пустое множество является подмножеством любого множества?

3) Существует ли такое множество которое в принципе не может породить никакую группу?

[Anton_Peplov]

student1138
Лучше всего представлять себе множество, порождающую группу $G$, как пересечение всех подгрупп группы $G$. Собственно, это и есть определение порождающего множества.
Теперь ответьте на первые два своих вопроса, заменив "порождающее подмножество" на "произвольная подгруппа", и будет Вам счастье.
После этого будет легко ответить и на третий вопрос.

[student1138]

Anton_Peplov в сообщении #1111449 писал(а):

student1138
Лучше всего представлять себе множество, порождающую группу $G$, как пересечение всех подгрупп группы $G$. Собственно, это и есть определение порождающего множества.
Теперь ответьте на первые два своих вопроса, заменив "порождающее подмножество" на "произвольная подгруппа", и будет Вам счастье.
После этого будет легко ответить и на третий вопрос.

По-моему не совсем так: Если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это пересечение всех подгрупп, содержащих S.

Согласно Вашему определению, порожд. множество - само является некоторой подгруппой, а согласно "официальному" определению - это лишь некоторое подмножество подгруппы (насколько я понимаю - произвольное).

[Anton_Peplov]

Вы совершенно правы. Я описАлся.

-- 02.04.2016, 15:42 --

student1138 в сообщении #1111451 писал(а):

Если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это пересечение всех подгрупп, содержащих S.

Предлагаю Вам рассмотреть множество всех целых чисел как группу по сложению. Давайте начнем с того, что перечислим все его подгруппы.

[student1138]

Anton_Peplov в сообщении #1111453 писал(а):

Вы совершенно правы. Я описАлся.

-- 02.04.2016, 15:42 --

student1138 в сообщении #1111451 писал(а):

Если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это пересечение всех подгрупп, содержащих S.

Предлагаю Вам рассмотреть множество всех целых чисел как группу по сложению. Давайте начнем с того, что перечислим все его подгруппы.

Вычитал в интернете: все несобственные подгруппы $\mathbb{Z}$ имеют форму $n\mathbb{Z}$ т.е. это группы целых чисел кратных заданному числу $n$

Тогда для каждой такой подгруппы, согласно определению, порождающим множеством будет множество состоящее из одного элемента: $S = \left\lbrace n \right\rbrace$

Откуда у меня и возникают вопросы:
1) Чтобы попродить всю подгруппу мы должны были использовать не только $n$, а так же и $-n$, но оно-то не входит в порождающее множество.

2) Я вижу что нейтральный элемент появляется автоматически как сумма любого $x$ и обратного к нему. Это почему-то смущает. Получается, требовать наличия нейтрального элемента избыточно - достаточно чтобы группа была непуста и тогда он сам появится автоматически. С другой стороны, для пустой группы это не работает и что тогда делать я не понимаю.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1111448 писал(а):

1) Должно ли порождающее множество содержать к каждому своему элементу также обратный к нему? Или обратные элементы могут быть вне множества?

Чтобы породить группу, нам разрешается делать над элементами порождающего множества ВСЕ разрешенные в группе операции. Значит, не обязательно заранее иметь в порождающем мн-ве обратные к элементам этого мн-ва элементы.
Точно так же разрешается делать все допустимые в линейном пр-ве операции, чтобы получить линейную оболочку набора векторов этого линейного пр-ва.

student1138 в сообщении #1111448 писал(а):

Согласно определению вроде бы не должно но тогда не понятно почему множество называется порождающим, ведь для того чтобы "породить" группу мы должны использовать элементы не только из этого множества. И кроме того не понятно, а почему мы вообще надеемся что обратный элемент найдется. А вдруг его нет?

Не стОит забывать, что, рассматривая порождающее мн-во группы, мы все равно находимся внутри группы, и нам доступны все разрешенные определением группы операции над элементами порождающего множества, пусть результат таких операций и выпадает из исходного порождающего мн-ва.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1111461 писал(а):

student1138 в сообщении #1111448 писал(а):

1) Должно ли порождающее множество содержать к каждому своему элементу также обратный к нему? Или обратные элементы могут быть вне множества?

Чтобы породить группу, нам разрешается делать над элементами порождающего множества ВСЕ разрешенные в группе операции. Значит, не обязательно заранее иметь в порождающем мн-ве обратные к элементам этого мн-ва элементы.
Точно так же разрешается делать все допустимые в линейном пр-ве операции, чтобы получить линейную оболочку набора векторов этого линейного пр-ва.

student1138 в сообщении #1111448 писал(а):

Согласно определению вроде бы не должно но тогда не понятно почему множество называется порождающим, ведь для того чтобы "породить" группу мы должны использовать элементы не только из этого множества. И кроме того не понятно, а почему мы вообще надеемся что обратный элемент найдется. А вдруг его нет?

Не стОит забывать, что, рассматривая порождающее мн-во группы, мы все равно находимся внутри группы, и нам доступны все разрешенные определением группы операции над элементами порождающего множества, пусть результат таких операций и выпадает из исходного порождающего мн-ва.

Вы точно поняли причины моего замешательства! Я и сам понял минуту назад:

Заметил, что когда говорят о порождающем множестве, всегда речь идет о какой-то подгруппе в уже имеющейся группе G. Таким образом все условия уже выполнены: есть и обратные элементы и нейтральный элемент. Я же представлял себе порождающее множество как некое совершенно произвольное множество, откуда и возникали вопросы: "а существует ли вообще обратный элемент", "а существует ли единца"?

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1111462 писал(а):

Заметил, что когда говорят о порождающем множестве, всегда речь идет о какой-то подгруппе в уже имеющейся группе G. Таким образом все условия уже выполнены: есть и обратные элементы и нейтральный элемент.

Это ошибочное заявление. Вы ничего из моих слов не поняли!

student1138 в сообщении #1111462 писал(а):

Я же представлял себе порождающее множество как некое совершенно произвольное множество, откуда и возникали вопросы: "а существует ли вообще обратный элемент", "а существует ли единца"?

А вот это вы понимали правильно, и я пояснял вам именно это, правильное понимание.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1111465 писал(а):

student1138 в сообщении #1111462 писал(а):

Заметил, что когда говорят о порождающем множестве, всегда речь идет о какой-то подгруппе в уже имеющейся группе G. Таким образом все условия уже выполнены: есть и обратные элементы и нейтральный элемент.

Это ошибочное заявление. Вы ничего из моих слов не поняли!

student1138 в сообщении #1111462 писал(а):

Я же представлял себе порождающее множество как некое совершенно произвольное множество, откуда и возникали вопросы: "а существует ли вообще обратный элемент", "а существует ли единца"?

А вот это вы понимали правильно, и я пояснял вам именно это, правильное понимание.

Тогда я снова ничего не понимаю.

Берем для примера множество: $S = \left\lbrace 2 \right\rbrace $. Чтобы породить группу четных чисел я должен использовать:
1) Операцию "+"
2) Элемент -2

Однако согласно ваших слов, у нас нет условия что $S$ является подмножеством группы $\mathbb{Z}$. Тогда как я могу использовать указанные выше два элемента?

[Brukvalub]

student1138, напишите здесь определение порождающего множества.

[arseniiv]

student1138 в сообщении #1111459 писал(а):

Тогда для каждой такой подгруппы, согласно определению, порождающим множеством будет множество состоящее из одного элемента: $S = \left\lbrace n \right\rbrace$

Не боязательно — можно добавить ещё элементов этой группы, и множество останется порождающим. Обратной к «порождению» $S\mapsto\langle S\rangle$ операции не существует: для любого $S$ имеем $S_+ \equiv S\cup\{e\}\ne S\setminus\{e\}\equiv S_-$, но при этом $\langle S_+\rangle = \langle S_-\rangle$. Или, например, возьмём $\mathbb Z_6$: $\langle\{2\}\rangle = \langle\{4\}\rangle = \langle\{0,2\}\rangle = \langle\{0,4\}\rangle = \langle\{0,2,4\}\rangle$ — это всё одна и та же её подгруппа, изоморфная $\mathbb Z_3$. «Минимального» порождающего множества тоже не бывает в общем случае, как вы верно заметили насчёт противоположных элементов.

student1138 в сообщении #1111459 писал(а):

С другой стороны, для пустой группы это не работает и что тогда делать я не понимаю.

Пустую группу обычно не считают группой.

[Anton_Peplov]

Мне кажется, путаница у ТС возникает вот от чего.
Пусть $G$ - группа и $A \subset G$ - произвольное ее подмножество. Тогда корректен вопрос, является ли $A$ порождающим для какой-либо подгруппы $G$. И обратно: рассмотрим некоторую группу $G$ и ее порождающее множество $A$. Корректен вопрос, входит ли в $A$ нейтральный элемент группы $G$ и все элементы, обратные к элементам $A$. Эти элементы безусловно есть в том смысле, что они есть в группе $G$, вопрос в том, входят ли они в $A$.

Если же $A$ - множество, о котором мы не говорим, что оно является подмножеством некоторой группы (кажется, под "совершенно произвольным множеством" ТС имел в виду именно это), то заданные вопросы становятся бессмысленными. Сначала на нем, надо, как минимум, ввести ассоциативную бинарную операцию. А потом смотреть, найдутся ли в нем обратные элементы и нейтральный элемент, что естественным образом зависит от того, как мы введем эту операцию.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1111469 писал(а):

student1138, напишите здесь определение порождающего множества.

Ну вот например из википедии:

Цитата:

Если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это наименьшая подгруппа в G, содержащая все элементы S, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих S.

А это уже мои домыслы: S - порождающее множество группы <S>

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1111472 писал(а):

Если же $A$ - множество, о котором мы не говорим, что оно является подмножеством некоторой группы (кажется, под "совершенно произвольным множеством" ТС имел в виду именно это), то заданные вопросы становятся бессмысленными.

Brukvalub в сообщении #1111461 писал(а):

Не стОит забывать, что, рассматривая порождающее мн-во группы, мы все равно находимся внутри группы, и нам доступны все разрешенные определением группы операции над элементами порождающего множества, пусть результат таких операций и выпадает из исходного порождающего мн-ва.

-- Сб апр 02, 2016 16:33:34 --

student1138 в сообщении #1111475 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1111469 писал(а):

student1138, напишите здесь определение порождающего множества.

Ну вот например из википедии:

Цитата:

Если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это наименьшая подгруппа в G, содержащая все элементы S, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих S.

А это уже мои домыслы: S - порождающее множество группы <S>

Верно. Задавайте вопросы, основываясь на этом определении.

[Anton_Peplov]

Brukvalub, я-то Ваше сообщение заметил. Я не уверен, что его заметил ТС.