Здравствуйте.
Согласно определению, если любой элемент

группы может записывается в виде

, то

- циклическая группа с образующим

. Или более простыми словами из википедии:
Цитата:
Циклическая группа — группа

, которая может быть порождена одним элементом

Для конечных групп действительно любой элемент образует подгруппу т.к. среди его положительных степеней будет и нейтральный элемент и все обратные элементы.
Однако в бесконечной группе одними только положительными степенями не обойтись. Но использование отрицательных степеней

означает что мы используем обратный к

элемент. Но тогда "образует" группу элемент
только вместе с обратным к самому себе. Т.е. образущими группы являются оба этих элемента а не один только

.
В общем
вопрос такой: правильно я понимаю когда говорят об образующем

, подразумевают его вместе с

?
Почему я задался этим вопросом. В учебнике Кострикина делается такое утверждение (цитирую дословно):
Цитата:
Порядок любого элемента

(

- абстрактная группа) равен

Причем, для бесконечных групп автор даже отказывается это доказывать, опять цитата:
Цитата:
В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего
Но вот тут я прихожу в замешательство. Ведь если, как утверждает автор,

-
абстрактная группа, а

-
любой ее элемент, то совсем не обязательно что он сам по себе образует подгруппу. Например в

. Элемент

один не образует подгруппу, а образуют ее только

и

. Отсюда возникает вопрос, который я сформулировал выше.