О радикальной прямой

[userded]

Задача. Пусть к двум не вложенным окружностям из двух различных точек радикальной прямой проведены по 2 касательных. Точками касания первой окружности являются $P_1$ и $Q_1$, а второй - $P_2$ и $Q_2.$ Доказать, что прямые $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ пересекаются на радикальной прямой (ну, или обе ей параллельны).

В частных случаях, например, когда окружности одинаковы, или когда одна из касательных проходит через точку пересечения окружностей, утверждение очевидно. Вопрос, как быть в общем случае. Качественные соображения, связанные с гомотетией, говорят о возможности получения результата элементарным путем. Аналитическая геометрия также приводит к нужному результату. Но, все-таки: может есть простое, чисто геометрическое решение?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы): всякая формула должна начинаться со знака доллара и заканчиваться им,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Какое условие я нарушил?

Радикальная прямая красная. Касательные прямые серые. Синие прямые должны пересекаться на красной, but they don't, даже если я не совсем точно определил положение красной.

[userded]

svv
Ну, тут на Вашем рисунке видно, что отрезки касательных из обеих точек не равны. В геометрических пакетах (типа Geogebra) можно построить и подвигать.
Пресечение там, где надо.

Я, правда, пробовала в случае, когда окружности пересекаются. Но, из общих соображений, это не должно влиять.

Впрочем, пусть окружности пересекаются. В этом случае утверждение верно?

[svv]

Ну, сдвинется красная прямая немного влево. Что это изменит? $P_1Q_1$ всё равно будет вертикальной (я так выбираю точки на радикальной прямой), а $P_2Q_2$ нет.

Мой секрет в том, что я специально провёл касательную $QQ_2$ не так, как «надо» (не на ту сторону окружности), но ведь в условии никаких оговорок на этот счёт нет.

[userded]

Понятно. Тогда давайте добавим условие, что окружности пересекаются. Действительно, ведь могут быть две касательных!

И выбираем по разные стороны.

[svv]

[userded]

И выбираем по разные стороны

-- 08.10.2016, 22:37 --

Просто хотелось попроще сформулировать :)

-- 08.10.2016, 22:46 --

offtop: Вот почему на mathoverflow всегда нормально отвечают, даже если ошибешься немножко.
А тут сразу воспитывать начинают? :((

-- 08.10.2016, 22:58 --

Можно еще проще. Пусть одна из точек радикальной оси такова, что получилась общая касательная (внешняя).

[gris]

Я думаю, что "две различные точки" должны совпадать.
Тогда можно хоть картинку нарисовать.

Если я, конечно, не ошибаюсь радикально насчёт условия.

[svv]

userded в сообщении #1158251 писал(а):

offtop: Вот почему на mathoverflow всегда нормально отвечают, даже если ошибешься немножко.
А тут сразу воспитывать начинают? :((

Простите.

Вот на картинке правильный вариант.

Исходные окружности чёрные. Радикальная ось красная. Две выбранные на ней точки $P$ и $Q$ не показаны, но их легко получить. Например, $P$ — это пересечение касательной к верхней окружности в $P_1$ и касательной к нижней окружности в $P_2$.

То, что $PP_1=PP_2$, и эти отрезки касательные, означает, что существует окружность, касающаяся двух исходных в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Аналогично, существует окружность, касающаяся их в $Q_1$ и $Q_2$. Эти две новые окружности зелёные.

Известно (Вики, статья Центр подобия), что любая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в антигомологичных точках. Следовательно, центр гомотетии $E$ зелёных окружностей лежит на пересечении $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$.

Вам остаётся понять (с помощью той же статьи), почему $E$ лежит на радикальной оси исходных окружностей.

[userded]

svv
Спасибо! Статья про центр подобия помогла.

[svv]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1158283 писал(а):

радикально

К тому же, и чертёж Ваш (и мой тоже) на radikal.ru!

[userded]

svv
Придумал решение попроще. Можно доказать, что четыре точки $P$, $P_1$, $Q$, $Q_1$ лежат на одной окружности (относительно несложно). Тогда имеем три радикальные оси для трех окружностей (трех пар), а они пересекаются в одной точке.

[svv]

Отлично!