offtop: Вот почему на mathoverflow всегда нормально отвечают, даже если ошибешься немножко.
А тут сразу воспитывать начинают? :((
Простите.
Вот на картинке правильный вариант.
Исходные окружности чёрные. Радикальная ось красная. Две выбранные на ней точки
и
не показаны, но их легко получить. Например,
— это пересечение касательной к верхней окружности в
и касательной к нижней окружности в
.
То, что
, и эти отрезки касательные, означает, что существует окружность, касающаяся двух исходных в точках
и
соответственно. Аналогично, существует окружность, касающаяся их в
и
. Эти две новые окружности зелёные.
Известно (Вики, статья Центр подобия), что любая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в антигомологичных точках. Следовательно, центр гомотетии
зелёных окружностей лежит на пересечении
и
.
Вам остаётся понять (с помощью той же статьи), почему
лежит на радикальной оси исходных окружностей.