2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 16:05 


14/11/14
22
Задача. Пусть к двум не вложенным окружностям из двух различных точек радикальной прямой проведены по 2 касательных. Точками касания первой окружности являются $P_1$ и $Q_1$, а второй - $P_2$ и $Q_2.$ Доказать, что прямые $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ пересекаются на радикальной прямой (ну, или обе ей параллельны).

В частных случаях, например, когда окружности одинаковы, или когда одна из касательных проходит через точку пересечения окружностей, утверждение очевидно. Вопрос, как быть в общем случае. Качественные соображения, связанные с гомотетией, говорят о возможности получения результата элементарным путем. Аналитическая геометрия также приводит к нужному результату. Но, все-таки: может есть простое, чисто геометрическое решение?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.10.2016, 16:50 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы): всякая формула должна начинаться со знака доллара и заканчиваться им,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.10.2016, 19:50 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Какое условие я нарушил?
Изображение
Радикальная прямая красная. Касательные прямые серые. Синие прямые должны пересекаться на красной, but they don't, даже если я не совсем точно определил положение красной.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:17 


14/11/14
22
svv
Ну, тут на Вашем рисунке видно, что отрезки касательных из обеих точек не равны. В геометрических пакетах (типа Geogebra) можно построить и подвигать.
Пресечение там, где надо.

Я, правда, пробовала в случае, когда окружности пересекаются. Но, из общих соображений, это не должно влиять.

Впрочем, пусть окружности пересекаются. В этом случае утверждение верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Ну, сдвинется красная прямая немного влево. Что это изменит? $P_1Q_1$ всё равно будет вертикальной (я так выбираю точки на радикальной прямой), а $P_2Q_2$ нет.

Мой секрет в том, что я специально провёл касательную $QQ_2$ не так, как «надо» (не на ту сторону окружности), но ведь в условии никаких оговорок на этот счёт нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:31 


14/11/14
22
Понятно. Тогда давайте добавим условие, что окружности пересекаются. Действительно, ведь могут быть две касательных!

И выбираем по разные стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 21:36 


14/11/14
22
И выбираем по разные стороны

-- 08.10.2016, 22:37 --

Просто хотелось попроще сформулировать :)

-- 08.10.2016, 22:46 --

offtop: Вот почему на mathoverflow всегда нормально отвечают, даже если ошибешься немножко.
А тут сразу воспитывать начинают? :((

-- 08.10.2016, 22:58 --

Можно еще проще. Пусть одна из точек радикальной оси такова, что получилась общая касательная (внешняя).

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение08.10.2016, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Я думаю, что "две различные точки" должны совпадать.
Тогда можно хоть картинку нарисовать.
Изображение
Если я, конечно, не ошибаюсь радикально насчёт условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение09.10.2016, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
userded в сообщении #1158251 писал(а):
offtop: Вот почему на mathoverflow всегда нормально отвечают, даже если ошибешься немножко.
А тут сразу воспитывать начинают? :((
Простите.

Вот на картинке правильный вариант.
Изображение
Исходные окружности чёрные. Радикальная ось красная. Две выбранные на ней точки $P$ и $Q$ не показаны, но их легко получить. Например, $P$ — это пересечение касательной к верхней окружности в $P_1$ и касательной к нижней окружности в $P_2$.

То, что $PP_1=PP_2$, и эти отрезки касательные, означает, что существует окружность, касающаяся двух исходных в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Аналогично, существует окружность, касающаяся их в $Q_1$ и $Q_2$. Эти две новые окружности зелёные.

Известно (Вики, статья Центр подобия), что любая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в антигомологичных точках. Следовательно, центр гомотетии $E$ зелёных окружностей лежит на пересечении $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$.

Вам остаётся понять (с помощью той же статьи), почему $E$ лежит на радикальной оси исходных окружностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение09.10.2016, 04:01 


14/11/14
22
svv
Спасибо! Статья про центр подобия помогла.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение09.10.2016, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora

(Оффтоп)

gris в сообщении #1158283 писал(а):
радикально
:-)
К тому же, и чертёж Ваш (и мой тоже) на radikal.ru!

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение10.10.2016, 20:30 


14/11/14
22
svv
Придумал решение попроще. Можно доказать, что четыре точки $P$, $P_1$, $Q$, $Q_1$ лежат на одной окружности (относительно несложно). Тогда имеем три радикальные оси для трех окружностей (трех пар), а они пересекаются в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: О радикальной прямой
Сообщение10.10.2016, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
Отлично! :P

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group