Фотоны

[Sicker]

Когда мы квантуем электромагнитное поле, то $Q$ и $P$, отвечающие за амплитуду и фазу волны с вектором $\vec{k}$, становятся операторами. И правильно ли я понимаю, что для однофотонного состояния с вектором $\vec{k}$ амплитуда и фаза неопределены, или на какие переменные действуют $Q$ и $P$?
Просто я не очень понимаю ЛЛ4.

[Munin]

1. Ага.
2. На полевые переменные.
3. Ага, не понимаете. Читать надо сначала ЛЛ-2. § 52.

[Sicker]

Munin в сообщении #1156664 писал(а):

3. Ага, не понимаете. Читать надо сначала ЛЛ-2. § 52.

Я как раз оттуда)

-- 03.10.2016, 00:12 --

Munin в сообщении #1156664 писал(а):

2. На полевые переменные.

На какие именно? Они нигде явно не обозначены.

[Munin]

Полевые переменные обозначены в ЛЛ-2. Это $A^\mu,$ или $F^{\mu\nu}.$ Вот они (взятые в каждой точке) образуют координаты того пространства, в котором задана волновая функция. Чтобы это хоть как-то обозреть, его приходится раскладывать по осцилляторам.

[Sicker]

Да, и мы от $A$ переходим к переменным $P$ и $Q$, которые потом становятся операторами...

-- 03.10.2016, 02:24 --

А постойте, ведь $A$ это тоже оператор, как $E$ и $H$.

-- 03.10.2016, 02:45 --

Я так понимаю, что квантовое поле это страшный зверь.
Если у нас классическая частица может иметь только одну координату, то квантовая уже как бы совокупность этих координат с разными амплитудами.
Классическое поле имеет бесконечное число координат(независимых), тогда как квантовое будет иметь...

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1156732 писал(а):

А постойте, ведь $A$ это тоже оператор, как $E$ и $H$.

Обратите внимание, что в нерелятивистской квантовой механике есть и оператор координаты, и соответствующая числовая координата — аргумент волновой функции. Тут то же самое — есть оператор $\hat A(x)$, а есть набор (обобщённых) координат $A(x)$.

[Munin]

Sicker в сообщении #1156732 писал(а):

А постойте, ведь $A$ это тоже оператор, как $E$ и $H$.

Ну да.

Посмотрите на квантовую механику частицы: $x$ - это и аргумент волновой функции, и оператор координаты. В зависимости от контекста :-)

В КМ принято шляпки (шапочки) писать над операторами, в КТП - нет. Это поначалу сбивает. С другой стороны, в КТП так много обозначений, что шляпки используются для чего-то ещё. Особенно в ЛЛ-4 (внимание! обозначения там - не общепринятые!). Рекомендуется читать другие книги, чтобы быть в курсе обозначений, причём и советских и американских.

Sicker в сообщении #1156732 писал(а):

Я так понимаю, что квантовое поле это страшный зверь.
Если у нас классическая частица может иметь только одну координату, то квантовая уже как бы совокупность этих координат с разными амплитудами.
Классическое поле имеет бесконечное число координат(независимых), тогда как квантовое будет иметь...

Усё правильно. Я именно это тут на форуме и писал: «Квантовое поле - это МОНСТР» (3 части).

[arseniiv]

(Давайте уже обсудим где-нибудь мой глупый вопрос о том, как связать обычные представления (бозонного) квантового поля и «наивное», являющееся элементом проективного векторного пространства, натянутого на всевозможные состояния аналогичного классического поля? И что делать с фермионными полями, которым никакого классического не соответствует? И где тут возможны ошибочные недопонимания?)

[Munin]

В первых двух частях моего "Марлезонского балета" я, вроде, говорю про это. Особенно в конце второй части.

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #1156885 писал(а):

И что делать с фермионными полями, которым никакого классического не соответствует?

Это с физической точки зрения не соответствует, а математически никто не мешает рассматривать "классическое" грассманово поле, содержащее в уравнениях некий параметр $\hbar$.

[arseniiv]

О, мило.

-- Вт окт 04, 2016 00:16:26 --

(Оффтоп)

Ну тогда всё равно будем работать с бозонным полем. Вот у нас есть на одной руке понятное какое-то состояние из пространства Фока, а на другой — эта функция $F\to\mathbb C$, где $F$ — множество всех классических состояний поля, т. е. (возможно, каких-то хороших) функций $\mathbb R^3\to V$, где $V$ — какая-то тензорная степень трёхмерного евклидова линейного пространства (а $\mathbb R^3$ — это пускай трёхмерное евклидово аффинное пространство, хотя и написано более специфическое).

А дальше я не знаю как строить мост. Ни в одну, ни в другую сторону. Видимо, на $F$ надо наложить какие-то нетривиальные ограничения.

[warlock66613]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1157012 писал(а):

Видимо, на $F$ надо наложить какие-то нетривиальные ограничения.

Ну, пространство Фока имеет счётный базис, а множество функций $F \to \mathbb C$, если не ошибаюсь, — нет. В любом случае, всё сводится к явному выражению для вакуума: если мы найдём явное выражение для вакуумного состояния, то остальные состояния из пространства Фока отобразятся автоматически.

[Munin]

arseniiv
Ну рассказывали же.

1. В $F$ как векторном пространстве вы поворачиваете базис. Как именно? Это делается преобразованием Фурье вот этого самого $\mathbb{R}^3.$ Вместо обычного пространства вы рассматриваете пространство волновых векторов. Вы согласны с тем, что это поворот базиса?

2. Оказывается, что теперь при каждом фиксированном значении $\mathbf{k}=\mathrm{const},$ физическая система становится независимой от других - осциллятор поля. То есть, на классическом языке, мы получаем толпу несвязанных маятников, которые качаются каждый сами по себе. А всё поле вместе - движется как точка в $F,$ покоординатно соответствующая этим маятникам.

Это всё описано в ЛЛ-2 § 52.

3. Разумеется, проквантовав эту систему, мы получаем эту самую вашу $F\to\mathbb{C}$ (в моих рассказах - МОНСТР). Но теперь её можно понимать как "многоподсистемную" (многоосцилляторную) квантовую систему. Разумеется, её подсистемы могут быть квантово запутаны. Но эволюционируют они независимо. И поэтому, на эту запутанность нам наплевать, и мы строим её состояния как тензорные произведения "одноподсистемных" (одноосцилляторных) состояний.

4. Теперь посмотрим, что такое состояние одного осциллятора. Это и есть фоковское состояние: линейная комбинация "0 фотонов" плюс "1 фотон" плюс "2 фотона" и так далее. Каждый из этих фотонов (они неразличимы!) - с определённым $\mathbf{k},$ который есть просто номер осциллятора. Разумеется, мы можем взять линейную комбинацию таких фотонов с разными $\mathbf{k},$ и получить просто однофотонное состояние поля. Или двухфотонное, и так далее - и линейную комбинацию таких состояний с определённым числом фотонов.

Это уже написано в ЛЛ-4 (не рекомендуется), Ахиезере-Берестецком, Боголюбове-Ширкове.

Потом мы пытаемся описывать поле со взаимодействием (до этого - было свободное поле), и вся лафа ломается: осцилляторы уже больше не независимы, и более того, не существует базиса, выделяющего независимые подсистемы. Но в случае слабой связи, этим можно пренебречь в нулевом приближении, а потом добавлять поправки по ряду теории возмущений.

[amon]

Munin в сообщении #1157033 писал(а):

Теперь посмотрим, что такое состояние одного осциллятора. Это и есть фоковское состояние: линейная комбинация "0 фотонов" плюс "1 фотон" плюс "2 фотона" и так далее.

А для фермионов все тоже самое, но каждый осциллятор имеет всего два состояния.

[Munin]

Ну вот крышу мне сносит на попытке представить себе такой классический осциллятор. Эти "грассмановы поля" - нечеловеческое что-то. Я решил, что лучше и не стоит, а то в психушку загрему... загремыхаю...

А после квантования - да с превеликим удовольствием!