Минимум функционала

[Хет Зиф]

Подскажите в каком направлении нужно искать решение задачи: найти
$inf\int\limits_{0}^{1}x^2 u'^2(x)dx$
при $u(x)\in C^{1}[0,1]$, также $u(0)=u(1)=0$, и $\int\limits_{0}^{1}u^2 dx =1$

[Bod]

Это вроде как изопериметрическая задача.
Решают её, на сколько мне помнится, так же с помощью формулы Эйлера. Только в качестве функции в формулу Эйлера подставляется x^{2}u'^{2}\left(x\right)-\lambda u{}^{2}\left(x\right)
где \lambda - множитель Лагранжа.

[Хет Зиф]

Bod
Так решить не получится

[Bod]

По какой причине?

[Хет Зиф]

Bod
Задача Коши не решается при данных граничных условиях.

[V.V.]

Хет Зиф писал(а):

Задача Коши не решается при данных граничных условиях.

А что такое, по Вашему мнению, задача Коши?

[Хет Зиф]

V.V.
Вообщем я имею ввиду что решая способом предложенным
Bod с граничными условиями мы не получим решения.

[V.V.]

Хет Зиф писал(а):

с граничными условиями мы не получим решения.

Не верю!

[Хет Зиф]

V.V.
Окей:
$L=x^2u' ^2 (x)-\lambda u^2$
далее

$$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{du'}-\frac{\partial L}{\partial u}=0$$

Далее получим:

$$x^2u''(x)+2xu'(x)+\lambda u=0$$

$u(0)=u(1)=0$
Далее:
$x=e^t$, и получим:

$$u''_{tt}+u'_{t}+\lambda u = 0$$

Теперь:
$\mu^2+\mu+\lambda = 0 $ следовательно:

$$\mu _{1,2}= \frac{-1\pm \sqrt{1-4\lambda}}{2}$$

В итоге:
$u=C_{1}e^{\mu_{1}t}+C_{2}e^{\mu_{2}t}$
или
$u=C_{1}x^{\mu_{1}}+C_{2}x^{\mu_{2}}$
причем видно что при $x=0$ у нас одно из $\mu$ скажем $Re[\mu _{2}]<0$ следовательно по идее $C_{2}=0$. Но тогда $C_{1}=0$ так как $u(1)=0$.
Вот и парадокс!

[Bod]

Последние рассуждения не могли бы вы чуть подробнее расписать (про то что C_2 = 0).
ПС: и вроде бы вы потеряли двойку при $u'_t$, так что:
$ \mu_{1,2}= -1 \pm \sqrt{1- \lambda} $

[Хет Зиф]

Bod
Во первых двойку не потерял, так как

$$u''_{xx}=e^{-2t}(u''_{tt}-u'_{t})$$

А во вторых, при $C_{2}$, стоит функция которая расходится в нуле.

[Bod]

Хет Зиф писал(а):

Bod
Во первых двойку не потерял, так как

$$u''_{xx}=e^{-2t}(u''_{tt}-u'_{t})$$

А во вторых, при $C_{2}$, стоит функция которая расходится в нуле.

Я извиняюсь, действительно моя ошибка - поспешил.
Интересная задачка... Может отсутствует экстремум на выбранном классе функций?

[Хет Зиф]

Bod
Ну вот и хотелось бы узнать, а может нужно строить минимум каким то особым способом.

[Bod]

Ну по идее это необходимое условие экстремума. Так что если решения не имеется значит и экстремума не должно быть (как я, по крайней мере, понимаю).

[Bard]

Используйте неравенство Харди.