Минимум функционала

[Хет Зиф]

Bard
Это

$$\int\limits_{0}^{+\infty}(\frac{F(x)}{x})^p < (\frac{p}{p-1})^p\int\limits_{0}^{+\infty}f^{p}dx$$

??

[Bard]

В Вашем случае, если \[ p > {\kern 1pt} 1 \] и

\[ F(x) = \int\limits_x^\infty {f(t)\,dt} \]

,
то

\[ \int\limits_0^\infty {F^p (x){\kern 1pt} dx < \,p^p } \int\limits_0^\infty {(x{\kern 1pt} f(x))^p dx} \]

.
В книге Г.Г.Харди, Д.Е.Литтльвуд, Г.Полиа "Неравенства", М. 1948, гл. IX (утверждение 328), подробно всё изложено.
На самом деле, Ваша квадратичная форма порождает с.с. оператор, непрерывный спектр которого начинается с 1/4/

[RIP]

То, что $\int_0^1x^2u'(x)^2dx>\frac14$, в данном случае тривиально, поскольку $\int_0^1x^2u'(x)^2dx=\frac14\int_0^1u(x)^2dx+\int_0^1\left(xu'(x)+\frac12u(x)\right)^2dx$.
Но равен ли искомый инфимум $\frac14$:?:

[Gafield]

По-моему, более естественно для этой задачи пространство Соболева $W_2^1([0,1])$.
Функции из него непрерывны, так что с граничными условиями проблем нет. Однако и в нем похоже, $\inf$ не достигается. Для функции $u=C_{a,b}x^a(1-x)^b$, $a>0,\ b>1/2$, где $C_{a,b}$ определяется из условия нормировки, получается значение функционала $\frac{(a+1) (a+b)}{2 b-1}$. Инфинум будет равен $1/2$ при $a\to0$, $b\to \infty$. А еще лучше использовать пространство с нормой, равной сумме двух интегралов. Тогда будет допустимо $a>-1/2$ и $\inf= 1/4$ при $a\to-1/2+0$, $b$ произвольное. Остается проверить, можно ли аппроксимировать синусами по норме этого пространства такие функции.

[Хет Зиф]

Gafield
Я как то не очень понял, при $a<0$ функция $u$ в нуле будет же расходиться ?

[Gafield]

При $a,b>-1/2$ функция $u\in L_2([0,1])$, может быть разложена в ряд по $\sin\pi n x$ и приближена по норме $L_2$ частичными суммами $S_n$. Вопрос в том, будет ли значение интеграла с $S'_n$ вместо $u'$ при $0>a>-1/2$ сходиться к значению интеграла от $x^2u'^2$.

В правой части тождества, которое нашел RIP, последний интеграл равен нулю при $u=x^{-1/2}$, что подсказывает замену $v=x^{1/2}u$. Тогда
$\int_0^1x^2u'(x)^2dx=\frac14\int_0^1x^{-1}v(x)^2\,dx+\int_0^1xv'^2(x)\,dx$. То есть задача сводится к аналогичной: найти $\inf$ второго интеграла в правой части при условии, что первый равен единице. Если для исходной задачи ответ 1/4, то для этой должен быть ноль. Не факт, правда, что она проще.

Если заменить $u$ на частичные суммы $S_n$, то при $n=140$ у меня получился минимум равный $0.488..$. Экстраполяция по еще нескольким значениям (меньшим), дает значение $inf\approx0.38..$. Я не проверял вычисления на точность, так что неизвестно, насколько обоснована оценка. Но, если они верны, то на 0.25 не похоже. Минимизирующая последовательность $S_n$ устроена просто: в нуле она быстро растет - для $n=140$ достигает где-то 4.6 при $x=10^{-2}$, а дальше выпукла вниз и убывает до нуля в 1. C ростом $n$ точка максимума сдвигается к нулю. Что довольно логично: большая часть изменения производной происходит в области, где $x$ мало. Это показывает, что предельная функция, если существует в $W_2^1([0,1])$, не будет равна 0 при $x=0$ или не будет гладкой - производная $S'_n(0)$, похоже, стремится к бесконечности.

[Хет Зиф]

Gafield
Как раз минимизирующая последовательность похожа на ту которую нужно строить для минимума функционала $\int x^{\sigma}u'^2dx$ при $\sigma >1$.

[Gafield]

$\sigma=2$ частный случай. Ну, если это известно, в чем тогда вопрос? Надо найти точное решение? Так, похоже, в $C^1$ его не будет, и в $W_2^1$ не факт. Или нужно само значение?

Есть еще всякие методы регуляризации, штрафных функций и т.п. Например, рассмотрим функционал с $(x^2+\alpha^2)u'^2$. Если задача решается, то можно попытаться найти предел при $\alpha\to0$. Конечно, сходимость ответов тоже обосновывать надо.

[Хет Зиф]

Gafield
Ой, ошибся $\sigma >2$
Для таких функционалов можно подобрать последовательность функции, таких что inf = 0,
но он не достигается.

Добавлено спустя 3 минуты 27 секунд:

Gafield
И кстати почему не может быть так что при $n>>1$ все таки значение достигнет $\frac{1}{4}$ ??

[Gafield]

Я не знаю, может или нет. Как я уже сказал, если минимизирующие функции $S_n$ для нескольких значений у меня правильные, то не похоже. Но это не факт, а мнение. Правда, полученное не на глаз, а в результате некоторых вычислений (и каких-то предположений ) Моя оценка ответа приведена выше.

[Bard]

Вы правильно нашли "минимизирующую" функцию. Её надо немного подправить. При

\[ \varepsilon > 0 \]

введём семейство функций

\[ u_\varepsilon (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\varepsilon ^{ - 1/2} - 1}}{\varepsilon }\,x,\;x \in \left[ {0,\varepsilon } \right],} \\ {x^{ - 1/2} - 1,\;x \in \;\left[ {\varepsilon ,1} \right].} \\ \end{array}} \right. \]

Затем надо рассмотреть отношение

\[ \frac{{\int\limits_0^1 {\left| {u_\varepsilon (x)} \right|^2 } dx}}{{\int\limits_0^1 {x^2 \,\left| {u_\varepsilon ^' (x)} \right|^2 dx} }} \]

при

\[ \varepsilon \to 0 \]

.

[Хет Зиф]

Bard
А то что минимизирующая функция не равномерно непрерывна это нормально?

[Bard]

Хет Зиф.
Минимизирующая функция

\[ x^{ - 1/2} \]

не принадлежит даже

\[ L_2 (0,1) \]

. Это произошло потому, что в точке ноль сильное вырождение

\[ x^2 \]

при производной в квадратичной форме. Такое вырождение "стирает" нулевое значение на левом конце промежутка у функций из области определения формы. Это видно при вычислении квадратичной формы на минимизируещей последовательности.

[RIP]

Bard
Мне кажется, что Хет Зиф хотел сказать, что $u_\varepsilon(x)\notin C^1$ (а слова "равномерно непрерывна" следует читать как "непрерывно дифференцируема"). Или я неправ?

Хет Зиф
Если я правильно понял, то это нормально. Грубо говоря, при вычислении инфимума неважно, какие функции рассматривать: гладкие или кусочно гладкие (для простейшей задачи вариационного исчисления подобное утверждение вроде называется леммой о скруглении углов). Функцию $u_\varepsilon$ можно слегка изменить в окрестности точки излома, так чтобы она стала гладкой и при этом интегралы от $u_\varepsilon^2$ и $x^2u_\varepsilon'^2$ "почти не изменились".

[Хет Зиф]

RIP
А можете ссылочку на эту лемму дать, а то я как то сомневаюсь в этих скруглениях, боюсь что они могут выдать как раз большое число, ну или вполне конечное.