2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Минимум функционала
Сообщение26.04.2008, 20:01 
Аватара пользователя
Подскажите в каком направлении нужно искать решение задачи: найти
$inf\int\limits_{0}^{1}x^2 u'^2(x)dx$
при $u(x)\in C^{1}[0,1]$, также $u(0)=u(1)=0$, и $\int\limits_{0}^{1}u^2 dx =1$
:wink:

 
 
 
 
Сообщение26.04.2008, 20:58 
Это вроде как изопериметрическая задача.
Решают её, на сколько мне помнится, так же с помощью формулы Эйлера. Только в качестве функции в формулу Эйлера подставляется x^{2}u'^{2}\left(x\right)-\lambda u{}^{2}\left(x\right)
где \lambda - множитель Лагранжа.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2008, 23:26 
Аватара пользователя
Bod
Так решить не получится :wink:

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 00:04 
По какой причине?

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 07:56 
Аватара пользователя
Bod
Задача Коши не решается при данных граничных условиях. :wink:

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 15:03 
Хет Зиф писал(а):
Задача Коши не решается при данных граничных условиях.


А что такое, по Вашему мнению, задача Коши?

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 17:08 
Аватара пользователя
V.V.
Вообщем я имею ввиду что решая способом предложенным
Bod с граничными условиями мы не получим решения.
:wink:

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 22:14 
Хет Зиф писал(а):
с граничными условиями мы не получим решения.


Не верю!

 
 
 
 
Сообщение27.04.2008, 22:37 
Аватара пользователя
V.V.
Окей:
$L=x^2u' ^2 (x)-\lambda u^2$
далее
$$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{du'}-\frac{\partial L}{\partial u}=0$$
Далее получим:
$$x^2u''(x)+2xu'(x)+\lambda u=0$$
$u(0)=u(1)=0$
Далее:
$x=e^t$, и получим:
$$u''_{tt}+u'_{t}+\lambda u = 0$$
Теперь:
$\mu^2+\mu+\lambda = 0 $ следовательно:
$$\mu _{1,2}= \frac{-1\pm \sqrt{1-4\lambda}}{2}$$
В итоге:
$u=C_{1}e^{\mu_{1}t}+C_{2}e^{\mu_{2}t}$
или
$u=C_{1}x^{\mu_{1}}+C_{2}x^{\mu_{2}}$
причем видно что при $x=0$ у нас одно из $\mu$ скажем $Re[\mu _{2}]<0$ следовательно по идее $C_{2}=0$. Но тогда $C_{1}=0$ так как $u(1)=0$.
Вот и парадокс! :wink:

 
 
 
 
Сообщение28.04.2008, 01:11 
Последние рассуждения не могли бы вы чуть подробнее расписать (про то что C_2 = 0).
ПС: и вроде бы вы потеряли двойку при $u'_t$, так что:
$ \mu_{1,2}= -1 \pm \sqrt{1- \lambda} $

 
 
 
 
Сообщение28.04.2008, 13:18 
Аватара пользователя
Bod
Во первых двойку не потерял, так как
$$u''_{xx}=e^{-2t}(u''_{tt}-u'_{t})$$
А во вторых, при $C_{2}$, стоит функция которая расходится в нуле. :wink:

 
 
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:17 
Хет Зиф писал(а):
Bod
Во первых двойку не потерял, так как
$$u''_{xx}=e^{-2t}(u''_{tt}-u'_{t})$$
А во вторых, при $C_{2}$, стоит функция которая расходится в нуле. :wink:

Я извиняюсь, действительно моя ошибка - поспешил. :oops:
Интересная задачка... Может отсутствует экстремум на выбранном классе функций?

 
 
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:18 
Аватара пользователя
Bod
Ну вот и хотелось бы узнать, а может нужно строить минимум каким то особым способом. :wink:

 
 
 
 
Сообщение28.04.2008, 16:46 
Ну по идее это необходимое условие экстремума. Так что если решения не имеется значит и экстремума не должно быть (как я, по крайней мере, понимаю).

 
 
 
 Минимум функционала
Сообщение29.04.2008, 07:21 
Используйте неравенство Харди.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group