Материалы и ссылки к биографии Пьера Ферма и истории ВТФ

[shwedka]

Обратите внимание на письмо Робервалю (Roberval), написанное в агусте 1640 года (После ВТФ?)
Стр. 202-205, Т.2 Собрания Сочинений.
Там, среди прочего, ПФ сообщает о только что доказанной теореме о сумме двух квадратов, и затем (перевод мой)

Цитата:

Я должен честно признаться, что ничто в теории чисел не доставило мне большего удовольствия, чем доказательство этого предложения, и я был бы рад, если бы Вы попытались это доказательство найти, хотя бы для того, чтобы я узнал,
не оцениваю ли я свое достижение выше, чем оно заслуживает.

А где же ВТФ? куда делось это 'доказательство'? Уже не радует?

[shwedka]

Небесполезно прочитать Предисловие Диофанта к его книге. Среди прочего, Диофант вводит понятия степеней числа, положительных и отрицательных.
ПФ следует этим понятиям, используя современные ему обозначения.

Однако! читая дословно текст Диофанта (существует прекрасный русский перевод под редакцией И.Г. Башмаковой, издание 1974 года ), мы видим, что Диофант определял НЕ ВСЕ степени. Не все целые степени. А какие?
от -6 до +6. Седьмая или тринадцатая степени в понятиях Диофанта отсутвуют. Нет их!
Поэтому, при чтении или комментировании Диофанта слова 'любая степень, большая 2' означают
'степень 3,4,5 или 6'. И не более того! Более высоких степеней в системе координат Диофанта нет как факта.

Можно подумать, что у ПФ были более развернутые понятия степени. Нет, по крайней мере, в течение 1630-х годов. Система обозначений не предусматревает понятия 'любой степени'. ПФ обозначает квадрат как Q, куб как С, четвертую степень как QQ, пятую как QC, шестую как СС. И все!
Никаких обозначений для более высоких степеней у ПФ нет, во всей книге Диофанта. Никаких утверждений о более высоких степенях нет у ПФ, во всей книге Диофанта. Поскольку именно по этой книге ПФ знакомился с теорией чисел, он, естественно, следует теории Диофанта.
Во всей дальнейшей переписке, во всем творчестве ПФ, более высокая степень, более 6, встречается ровно два раза. И оба раза ПФ мучительно ищет слова, чтобы эту более высокую степень выразить. Непредубежденный читатель и не догадается, что именно о произвольной степени речь идет. Посмотрите сами. ПФ с трудом к этому понятию приходит.

[shwedka]

cmpamer в сообщении #1146688 писал(а):

Да и как эта "миниверсия" коррелируется с пресловутыми ПЧФ $(2^{2^n}+1)?$

Как раз прекрасно коррелируется. Я же написала, что высокие степени появляются только с 1640 года, и имеется ровно два таких документа. ПЧФ- это в одном из них. И в 1640 году у ПФ не было обозначений, чтобы выразить 'любую степень.'

cmpamer в сообщении #1146688 писал(а):

Если конкретно (для примера) - с реальным дословным переводом "Диофанта-Ферма" 1670 г/и, а не с тем, что Вы в порядке очередной шутки предлагаете:

Давайте, огласите этот 'реальный перевод', чтобы все могли его увидеть.

[shwedka]

Вообще, ПФ еще неоднократно писал о гипотезе о простоте 'чисел Ферма' $2^{2^n}+1$,
в пиьмах Френиклю, авг. 1940, Паскалю, авг. 1954 Брункер и Валлису, июнь 1658.
Нигде он с полной уверенностью не писал, что доказательством обладает. Он выражал уверенность в том, что теорема верна, в 'завещательном' письме Каркави писал, что ее, видимо, можно доказать спуском. И, нигде!! он не мог использовать обозначений, типа современных, а ограничивался перечислением или мутноватым словесным описанием. Между прочим -- это относится к опущенной теме-- Гаусс безосновательно приписывал ПФ утверждение о наличии доказательства (см. Собрание Сочинений, т.2, стр 151, 159 ). Более того, ПФ просил Паскаля заняться этой задачей, обещая интересные приложения. Кроме того, Френикль (а не ПФ) утверждал, что владеет доказательством, однако оно не было найдено.

Надо отметить, что далеко не все письма были найдены и опубликованы.
Мне попался анализ переписки ПФ с Паскалем. Найдено и опубликовано 6 писем за один год. Однако, в этих и других посаниях имеются ссылки и на другие письма, не менее, чем 5. Так что здесь почти половина писем пропала.

Письма начал собирать К-С. Времени ушло много. Все, что он нашел, он опубликовал в 1679 году, в Varia Opera,
https://archive.org/details/bub_gb_W7SzsUcxW1YC

[shwedka]

Я ошиблась. Имеется реконструкция переписки между ПФ и Френиклем по поводу совершенных чисел
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086091903714#
весьма интересное чтение.

[shwedka]

Цитата:

Хотелось бы ещё взглянуть хотя бы на одно из указанных писем.

Пожалуйста! Во втором томе Собрания сочинений.

а еще эти письма обсуждаются в интересной книге
17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry ,бы
Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, A. Solcova
Springer, 2002.

[Someone]

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

поскольку никто из современников не удосужился опровергнуть его хилую гипотезу; т.е. решить чепуховую задачу по факторизации ПЧФ № 5

Может быть, Вы совершите этот подвиг, и, используя в качестве вычислительного средства исключительно карандаш и бумагу, разложите на простые множители число $4\,294\,967\,321$ или $4\,294\,967\,317$? Отчитываться здесь не надо, проделайте это для себя. Чтобы не писать чушь. А то Вы очень легко распоряжаетесь личным временем Ферма и других математиков. У Ферма ведь не было оснований ожидать, что наименьший делитель окажется в пределах первой тысячи.

Кстати, то такое "ПЧФ"?

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Лишь через сто лет Эйлер (чтобы мы без него делали?) сподобился на этот подвиг.

Эйлер доказал теорему: каждый делитель числа $F_n=2^{2^n}+1$ имеет вид $k\cdot 2^{n+1}+1$. И ему для нахождения делителя числа $F_5$ потребовалось проверить всего $10$ кандидатов. Впоследствии (в XIX столетии) Люка усилил эту теорему, показав, что при $n\geqslant 2$ делители имеют вид $k\cdot 2^{n+2}+1$, что вдвое сокращает объём вычислений. Так что "подвиг" Эйлера имеет серьёзное обоснование.

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Ну неужели кто-то может поверить, что такой человек, как Ферма целых 18 лет носился со своей "шальной гипотезой", и даже не удосужился проверить пятое ПЧФ на... на ограниченность его факторизации максимум двумя множителями; т.е. перебрать (проверить в качестве возможных делителей) только те простые числа, которые не превышают кубический корень из ПЧФ № 5

А нафиг ему это было нужно? Его же интересовала простота, а не количество простых делителей.
Что касается проверки на простоту, то Ферма доказал теорему, которая называется малой теоремой Ферма: если $p$ — простое число, то для любого натурального числа $a$, не делящегося на $p$, число $a^{p-1}-1$ делится на $p$. Для $F_5$ нужно вычислить $a^{F_5-1}=a^{2^{32}}$ по модулю $F_5$. Если число $F_5$ простое, то при любом натуральном $a<F_5$ должна получаться $1$. Выглядит это страшно, но на самом деле здесь нужно всего лишь $32$ раза возвести в квадрат не более чем десятизначное число и найти остаток от деления на $F_5$. Если взять $a=3$, то в результате получится $3\,029\,026\,160\neq 1$, поэтому число $F_5$ не простое. Конечно, вычислений всё равно много, тем более, что их нужно тщательно проверять на наличие ошибок, но всё-таки не заоблачно много. За несколько часов можно управиться. Однако Ферма не взялся за эти вычисления.

cmpamer в сообщении #1147307 писал(а):

Да за это время можно было десятое ПЧФ разложить на атомы

Да что Вы говорите! Попробуете? На бумажке, без компьютера? Механическим арифмометром можете пользоваться, хотя у Ферма его не было. И разложить именно "на атомы", то есть, требуется полное разложение на простые множители.

TR63 в сообщении #1147332 писал(а):

Рассмотрим числа, задаваемые формулой $2^{2^n}+1$, где (n) простые нечётные числа.

Неверно. У Ферма $n$ — любое неотрицательное целое число ($0,1,2,3,\ldots$).

[shwedka]

cmpamer в сообщении #1148951 писал(а):

Но прежде чем подступиться к этому вопросу, необходимо получить уяснение по другому (хоть и близкому) - откуда взялась дата появления этой самой записи -1637 год (или около того)? Т.е. необходимо выявить первоисточник этой информации, после чего можно будет давать оценку на предмет её достоверности (а заодно - и получение ответа на первый вопрос). Это вопрос поднимался уже, но уважаемая shwedka в этой части сотрудничать со следствием наотрез отказалась.

У меня хватает других дел,
могу только сказать,что ни в одном томе ПСС ПФ датировка ключевого замечания не проводилась.
Диксон в томе 2, стр 731 , 1923г., пишет 'около 1637 года', ссылаясь на ПСС, т.1, стр 291, т.3, стр.241, а также цитировавшийся выше пересказ Brassinne, 1854, стр. 53.
Однако, в этих источниках датировка записи ПФ отсутствует.

ТС предлагается,наконец-то, самостоятельно, провести исследование и выяснить,что писал по поводу авторства и датировки Эйлер в 1768 г. когда он впервые предъявлял доказательство ВТФ-3, как аттрибутировали ВТФ Лагранж, Дирихле, С.Жермен, Куммер, Ламе.
То есть, Вам предстоит открыть ПСС этих грандов, найти статьи или книги, посвященные ВТФ и понять, давали ли они датировку и как ее аргументировали. И что они думали по поводу аутентичности записи, как она публиковалась в 1670г.
Я за Вас это делать не стану. Вы-следователь, Вы и анализируйте материальные свидетельства.

[shwedka]

cmpamer в сообщении #1149544 писал(а):

Скорее всего, Ферма единожды обмолвился о своём чудесном доказательстве где-то в то время, и это-то и дало повод считать, что и запись в книге он сделал тогда же.

Никаких не скорее всего. О том,что ПФ 'обмолвился' о доказательстве, ни единого подтверждения нет.

ваша версия совершенно неправдоподобна. Получается,что ПФ кому-то, не одному из своих кореспондентов, обмолвился, тот никому не говорил, тайна хранилась почти триста лет, переходя из поколения в поколение, пока очередной наследник не проговорился Диксону. А тот напечатал, но источник не указал, а вместо того сослался на сведения, отсутствующие в ПСС.

А знаете ли, что случилось с архивом семьи Ферма, хранившемся в семейном доме в Бомоне?
Где он теперь?

Фотографии этого дома можно увидеть на
https://regnum.ru/pictures/2166082/3.html и далее

cmpamer в сообщении #1149544 писал(а):

Т.е. найти первоисточник довольно проблематично…

Восьмите Диксона, том 2, стр 731 и далее. Там даны точные ссылки на все упоминания ВТФ до 1923 года. Вам нужно не высасывать версии из пальца, а изучить эти ссылки или, хотя бы, основные,
мною упомянутые, и выяснить, кто и на каких основаниях ввел в употребление дату 1637.

cmpamer в сообщении #1149544 писал(а):

Я же рискну предположить

Изучите материалы, а только потом предполагайте. Вы по-прежнему сочиняете версии, не изучив ни одного из материалов.



Обратите внимание на то, что 1637 объективно существенно выделяется среди всех остальных лет активной жизни ПФ. Сообразите, чем!!!!

[shwedka]

Полистала я книгу Эйлера 'Элементы Алгебры'. Первое издание, по-немецки, было опубликовано в С-Петербурге в 1770 году. К этому времени Эйлер был совершенно слеп. Интересно было посмотреть, что Эйлер пишет о Ферма.

И что же? Очень интересно!

В книге Эйлера нет ни одного упоминания о ПФ. Ни единого!!!
В особенности, в том месте, где Эйлер 'почти' доказывает ВТФ-3. Формулировка дана без отсылки к ПФ.
Во французском издании, в переводе И.Бернулли, дано обширное дополнение, написанное Лагранжем.
Там по нескольким поводам ПФ упоминается 9 раз, указывается связь ПФ с некоторыми задачами Эйлера, однако в связи с ВТФ- нет!

[shwedka]

Здесь я привожу все, что известно, по поводу ВТФ для степени 3.

Формулировка встречалась у арабов еще в Х веке.
Аль Ходжанди предложил доказательство, ошибочное.

ПФ предлагал задачу многим корреспондентам
1. Сан-Круа, 1636, ПСС, т.2, стр.65, т.3, стр 287,
2.Френиклю, 1640, ПСС, т.2, 195,
3. Английским и голландским математикам, 1657, ПСС т.2, стр 346, т.3, стр.313.
4. И, как уже указывалось неоднократно, в 'завещетельном' письме Каркави, 1659.

ПФ получил в 1657 письмо от Ван Схоутена, который ту же задачу предложил ПФ. ПСС т.3, стр 558

Френикль, 1658, предложил математикам эквивалентную задачу ПСС, Т.2, стр 376, 433

Эйлер впервые сообщил своем решении в 1753, Opera Omnia (1) II, стр 557,574
Само решение Эйлера было опубликовано в его 'введении в алгебру', 1770 -(ссылка давалась выше). 1770 -издание по-немецки. В некоторых истчниках указано существование предшествующего русского текста, 1765 или 1768 года (издание не сохранилось). Французский перевод И.Бернулли (третьего с этим именем) с дополнениями Лагранжа появился в 1774 году.
Дополнительные пояснения Эйлера, заполняющими известный пробел, были найдены в его записях и опубликованы в Operа postuma, I, 1862, стр 230-231.

Гаусс, хотя ему и приписывают индифферентность к ВТФ, дал полное доказательство ВТФ 3,методом спуска,
Werke, II, 1863, стр.387-390 posthumous MS.
(то есть, в неопубликованных рукописях).

[shwedka]

Во французской ВИКИ имеется интересная публикация
https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:D%C3%A9monstrations_du_dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat
Помимо изложения
беспомощных попыток доказательства,
Обсуждается вопрос о происхождении мнения о датировке 1637 годом,

Мне сейчас заниматься этим некогда, но владеющих французским призываю опубликовать здесь перевод.

Я заказала (за свои кровные) книгу Fermat a-t-il démontré son grand théorème ?:l'hypothèse pascal:essai
Hua, Laurent/ Rousseau, Jean . Когда приедет, стану фрагментами обнародовать.

Еще один призыв к культурно заинтересованным.
В двух изданиях ПФ, то есть, Диофанта с замечаниями ПФ, 1670 года, и Opera Varia, 1679 года,
К-С Ферма, сын, помещает несколько предисловий. Некоторые из них представляют собой благодарности герцогам, князьям и архиепископам, в той или иной степени благословившим (спонсировавшим) издание. Особый интерес представляют обращения к 'образованному читателю'. Тексты эти написаны на средневековой латыни, слепым и убитым временем шрифтом, с мнпогочисленными сокращениями и лигатурами. Каждое слово требует расшифровки, и мои попытки перегнать текст через гугл-переводчика оказались безуспешными. Однако, я не страшно долго с этим текстом сражалась.
Мои поиски не привели к отысканию перевода -- или хотя бы читаемого воспроизведения- этих предисловий. В то же время я вполне допускаю, что в них К-С рассказывает о своей работе по подготовке текста, об участии математиков, об источниках.
Было бы весьма полезно все же до этих предисловий добраться. Работа неблагодарная, но, может быть, среди заинтересованных участников найдется доброволец,
который эти 4 страницы латинского текста попробует разобрать. Ссылки есть выше.

[shwedka]

Я много ссылалась на Диксона. Поскольку не каждый сумеет Диксона найти, даю ссылку на главу, посвященную ВТФ.
http://www.filedropper.com/aboutgftdicksonlevol2historyofthetheoryofnumberschelsea1923
Изложено состояние дел на 1923 год.

Добавлено. История ВТФ3, ВТФ4.
http://www.filedropper.com/gft3dicksonlevol2historyofthetheoryofnumberschelsea1923
http://www.filedropper.com/gft4dicksonlevol2historyofthetheoryofnumberschelsea1923

Книгу Хуа и Руссо
надеюсь через неделю получить.

[shwedka]

По поводу простых чисел Ферма. Я ссылалась на книжку '17 лекций о числах Ферма'. Теперь все желающие могут прочесть.
http://www.filedropper.com/17lecturesonfermatnumberskeklucasomer

[shwedka]

Еще одна ссылка, относящаяся к доуайлзовскому периоду, 1988.
http://www.filedropper.com/gftcase1
Элементарными методами, восходящими к С.Жермен,
доказывается, что Первый случай ВТФ верен для
всех простых показателей, не превосходящих

714 591 416 091 389

Но этим история не закончилась

156 442 236 847 241 729
Для простых показателей, не превосходящих этого фантастического числа,
доказан Первый случай ВТФ
http://www.filedropper.com/gft1best
Это 1989. Элементарные методы!

И, наконец, 1990
http://www.filedropper.com/gtfcase1last
число:
$7.568 \times 10^{17}$
Tо есть, примерно в 5 раз больше, чем в предыдущем источнике.

Мне не попадались пока дальнейшие улучшения, хотя четверть века прошла.
(Желающим разобраться: начинайте с первой статьи)

И, чтобы закончить с Первым случаем, нельзя пропустить Тержаняна,
доказавшего этот первый случай ВТФ для всех четных показателей.
Изложение можно найти в книге Рибенбойма, стр.221 русского издания.